Shirobokov M.G., Trofimov S.P. Design of Interplanetary Trajectories with Swing-Bys and Deep Space Maneuvers / – Moscow, Russian Academy of Sciences, 2017.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
М.Г. Широбоков, С.П. Трофимов
Проектирование
межпланетных перелетов
с несколькими гравитационными
маневрами и промежуточными
импульсами
Москва 017
Отделение математических наук
УДК 50
© Российская академия наук, 017
© М.Г. Широбоков, С.П. Трофимов, 017
Широбоков М.Г., Трофимов С.П.
Проектирование межпланетных перелетов с
несколькими гравитационными маневрами и промежуточными импульса
ми – М., РАН, 017.
Анотация:
В работе решается задача проектирования межпланетных траек
торий с несколькими гравитационными маневрами и промежуточными импуль
сами с помощью разработанного авторами метода виртуальных траекторий.
Даны алгоритмы расчетов гелиоцентрических и планетоцентрических участ
ков, рассматривается случай резонансных траекторий. Описаны результаты
применения метода виртуальных траекторий к задаче проектирования переле
та к Юпитеру, полученные траектории сравниваются с траекториями миссий
Juno, Euroπα Cliππer и Lαπlαce.
Shirobokov M.Γ., Tro�mov S.Π.
∆esign of Interπlαnetαry Trαϕectories with Swing−
Bys αnd ∆eeπ Sπαce Mαneuvers / – Moscow, Russiαn Acαdemy of Sciences, 017.
In the παπer, the πroblem of designing interπlαnetαry trαϕectories with severαl
swing−bys αnd deeπ−sπαce mαneuvers is solved using the method of virtuαl trαϕectories
develoπed by the αuthors. The αlgorithms for the cαlculαtion of both heliocentric αnd
πlαnetocentric trαϕectory αrcs αre πresented, including the cαse of resonαnt trαϕectories.
The results of αππlying the method of virtuαl trαϕectories to the πroblem of designing αn
interπlαnetαry trαnsfer to Juπiter αre given αnd comπαred with the bαseline trαϕectories
for the Juno, Euroπα Cliππer, αnd Lαπlαce missions.
Проектирование межпланетных
перелетов с несколькими
гравитационными маневрами
и промежуточными импульсами
М.Г. Широбоков, С.П. Трофимов
1. Введение
На протяжении всей истории космонавтики гравитационные
маневры были полезным инструментом проектирования меж
планетных миссий и эффективным средством достижения пла
нет−целей для проведения научных исследований. Значительное
количество межпланетных миссий неоднократно подтверждало
важность использования гравитационных маневров. Примерами
являются Маринер−10 с гравитационным маневром у Венеры с
целью снижения скорости и достижения Меркурия, Пионер−11 с
гравитационным маневром у Юпитера с целью увеличения ско
рости и достижения Сатурна.
Успех миссий на основе использования гравитационных ма
невров повлек продолжение программы по исследованию космо
са и планет при помощи АМС Вояджер−1, посетившей Юпитер
и Сатурн, а также АМС Вояджер−, двигавшейся вдоль планет
ной последовательности Земля–Юпитер–Сатурн–Уран–Нептун
(EJSUN). Другие успешные проекты исследования планет Сол
нечной системы включают АМС Галилео с маршрутом EVEEJ,
АМС Кассини
−Гюйгенс
с маршрутом EVVEJS. Второй аппарат на
Меркурий, Мессенджер, запущенный в 004 году, выполнил один
маневр у Земли и два дополнительных маневра у Венеры. Далее
последовала серия из трех маневров около Меркурия с целью
снизить относительную скорость (EEVVMeMeMeMe).
Проектирование траекторий, содержащих гравитационные
маневры, до создания современных высокопроизводительных
вычислительных средств опиралось в значительной степени на
интуицию баллистиков и использование некоторых простых ана
литических и графических средств типа диаграммы Тиссерана.
Точный расчет полученных таким путем приближенных траек
торий осуществлялся с помощью методов локальной оптимиза
ции и теории оптимального управления и представлял собой, как
правило, ньютоновский или квазиньютоновский итерационный
процесс. Однако даже для простых межпланетных перелетов
оптимизируемый функционал – характеристическая скорость –
имеет множество локальных минимумов и может быть в некото
рых точках недифференцируемым или даже разрывным [1]. Как
следствие, выбор начальной точки – приближенной траектории
– оказывает сильное влияние на сходимость итерационного про
цесса и качество выполненной оптимизации (близость найденно
го оптимума к глобальному).
Классический метод полного перебора, использовавшийся с
самого начала космической эры для проектирования межпланет
ных полетов, заключается в случае прямого перелета в переборе
дат старта и времени полета и численном решении получающихся
при этом задач Ламберта [, 3]. Траектории же с промежуточны
ми гравитационными маневрами разбиваются на участки пла
нета−планета», к которым применяется та же самая процедура.
Метод полного перебора оказывается весьма ресурсозатратным
при решении задачи оптимизации траекторий с большим числом
гравитационных маневров.
Современный подход в технологии проектирования межпла
нетных траекторий заключается в автоматической генерации
множества локально−оптимальных приближенных траекторий
методами глобальной оптимизации. Здесь можно отметить по
пытки использования генетических алгоритмов [4, 5], нейронных
сетей [6] и методов параллельных вычислений [7]. Отметим идею
применения стохастического поиска для задачи оптимизации
сложных траекторий, впервые описанная в работе [8], где было
предложено использование генетических алгоритмов в много
1. Введение
критериальной оптимизации (NSΓA) для поиска перелетов пла
нета−планета» с малой тягой. Алгоритм имитирует эволюцию
популяции индивидуумов, представленных как возможные тра
ектории, чьи хромосомы закодированы начальными значениями
множителей Лагранжа и полным временем полета. Статья пред
ставляет некоторые примеры оптимальных по Парето траекторий
от Земли к Марсу. Можно отметить также создание M. Vαsile в
003 г. стохастического глобального оптимизатора (EΠIC), кото
рый был протестирован и успешно применяется в решении задач
с межпланетными полетами [9].
В последние несколько лет отмечается сфокусированность
на смешении различных техник глобальной оптимизации. На
пример, в [10] показано, что совместное использование в мно
гокритериальной оптимизационной процедуре дифференциаль
ной эволюции [11, 1] и генетических алгоритмов может быть
эффективным. В 008 году Vαsile было предложено обобщение
дифференциальной эволюции и метода роя частиц [13] в форме
динамической системы с дискретным временем.
Среди отечественных работ по тематике проектирования
сложных межпланетных траекторий можно выделить создание
метода сквозной оптимизации траекторий аппаратов с малой тя
гой [14]. В качестве средства преодоления затруднений с выбо
ром начального приближения хорошо зарекомендовал себя метод
продолжения по параметру, применимый в задачах и с большой,
и с малой тягой [15, 16].
Целью данной работы является создание эффективного с точ
ки зрения быстродействия метода проектирования межпланетных
траекторий, который был бы одновременно простым в реализа
ции и позволял бы получать траектории в практически значи
мом классе задач: с пассивными гравитационными маневрами и
импульсами в глубоком космосе. Для достижения поставленной
цели выбираются подходящие модели и предположения, касаю
щиеся приближений траекторий КА и орбит планет, подробно
описываются расчеты всех необходимых параметров движения
КА и выполняется поиск оптимальных траекторий.
В разделе  перечислены все основные используемые в
данной работе модели и предположения. Раздел 3 подробно
описывает содержание разработанного метода виртуальных
траекторий в применении к проектированию межпланетных
траекторий с пассивными гравитационными маневрами и им
пульсами в глубоком космосе, а в разделе 4 поясняется, каким
образом происходит построение базы виртуальных траекторий.
Способ наложения реального движения планет на виртуальные
траектории, т.е. учета связи между положением планет и време
нем, излагается в разделе 5. В разделе 6 приводится сравнение
разработанного метода с классическим. В разделе 7 представле
ны примеры использования МВТ для решения модельных задач
полета к Юпитеру.
. Основные предположения
В работе решается задача проектирования оптимальных меж
планетных траекторий с гравитационными маневрами. Космиче
ский аппарат (КА) оснащен двигателем большой тяги (химиче
ским двигателем большой мощности). Траектория формируется
из участков пассивного полета, соединяющихся между собой в
точках приложения управляющих импульсов при выполнении
маневров в глубоком космосе.
Орбиты планет считаются некомпланарными кеплеровыми эл
липсами, элементы которых берутся на некоторую эпоху. К при
меру, авторами использовались орбитальные элементы планет по
отношению к средней эклиптике и среднему равноденствию на
эпоху J000.0. (
httπ://www.sαi.msu.ru/neb/rw/nαtsαt/πlαorbw.htm
от
Как это делается в большинстве методов проектирования
межпланетных траекторий, будем пользоваться моделью сопря
женных конических сечений: внутри сфер действия планет (на
планетоцентрических участках траектории) учитывается только
притяжение соответствующей планеты, вне сфер действия пла
нет – на гелиоцентрических участках – только притяжение Солн
ца (сферы действия на этом этапе считаются точечными).
3. Проектирование межпланетных миссий
с пассивными гравитационными маневрами
Метод виртуальных траекторий состоит из двух этапов. На
первом этапе для построения базы виртуальных траекторий не
обходимо провести дискретизацию: на орбите каждой из планет,
входящих в выбранный планетный маршрут, отметим, идя с не
большим по истинной аномалии шагом (постоянным или пере
менным), набор узловых точек (рис. 1). Виртуальной траекторией
в данной работе будем называть траекторию, проходящую через
планетные узлы, с активными гелиоцентрическими участками (в
некоторой точке на этом участке происходит мгновенное измене
ние скорости) и пассивными гравитационными маневрами.
3.1. Расчет гелиоцентрического участка траектории
Приступим теперь к детальному описанию расчетов на участ
ках траекторий. Рассмотрим один из гелиоцентрических участ
ков. Пусть
– радиус−вектор начальной точки участка – узла
, а
– радиус−вектор конечной точки участка – узла
– вектор скорости планеты
в точке
(далее, ссы
лаясь на точки/узлы, будем просто указывать их радиус−вектор).
Местная параболическая скорость равна ,
Здесь – гравитационный параметр Солнца. Орбитальный угло
вой момент планеты
определяется вектором
111

cru
орбит планет.
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
Задавая угол наклона траектории θ в точке
(его также назы
вают углом подъема траектории или углом тангажа) можно опре
делить скорость КА в
по формула
где
– угловая дальность перелета между
и
. Отсюда
можно получить все параметры орбиты перелета из точки
в
точку
Опишем теперь вариант выбора точек для маневров в глубо
ком космосе. После того как определены все параметры движе
ния вдоль траектории, соединяющей узлы
и
, вычисляются
значения эксцентрических аномалий
и
, соответствующих
и
. Затем выбираются значения эксцентрических ано
малий из множества
EEi
=+−
,...,1
iN
=+
которые и будут соответствовать точкам для маневров в глубоком
космосе.
Далее, пусть на участке орбиты между точками
и
вы
брана точка
, в которой требуется совершить маневр в глубо
ком космосе (см. рис. ). На орбите планеты
выбирается точка
, в которую требуется построить траекторию из точки
Обозначим за
lim
максимально допустимую величину при
ращения характеристической скорости на данном участке тра
ектории. Здесь под приращением характеристической скорости
понимается
∆=−
где
– скорость КА в
до маневра,
– скорость после ма
невра. Угол наклона траектории до маневра в точке
определя
ется скоростью
и вычисляется по формуле
Угол наклона траектории после маневра полностью определя
ет траекторию из
в
и величину маневра. С практической
точки зрения, удобно рассматривать углы наклона траектории по
сле маневра из интервала , где .
Отметим, что здесь нас интересуют только те углы наклона тра
ектории , при которых возможно движение из
в
, т.е.
для которых выполнено
где
– модуль скорости после маневра,
0,παr
– парабо
лическая скорость в точке
– угловая дальность между
После того как угол наклона траектории после маневра вы
бран, можно найти вектор скорости
в точке
после манев
ра. Тогда величину приращения характеристической скорости
∆=−
следует сравнить с предельно допустимым зна
Рис. . Пучок траекторий
из точки маневра.
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
lim
и случае
lim
∆≤∆
сохранить данные о полу
ченной траектории, проходящей через точки
и
. В про
тивном случае такая траектория отклоняется и в базу данных не
попадает. По известным параметрам двух соответствующих ке
плеровых дуг можно найти времена полета из
в
и из
в
, а также скорость прибытия
в точку
. Так рассчитыва
ются все параметры траектории между узлами планеты
и пла
. Аналогичные вычисления можно выполнить для любых
двух узлов на орбитах планет, соседствующих» в выбранном
планетном маршруте. Для резонансных виртуальных траекторий
перелет может совершаться между двумя узлами на орбите одной
и той же планеты.
3.. Расчет планетоцентрического участка траектории
Перейдем теперь к рассмотрению движения КА на плането
центрических участках траектории. Пусть рассматривается узел
некоторой планеты с радиус−вектором
. Планетоцентрическую
скорость на входе в сферу действия будем считать известной,
обозначим ее
rel
. Если это первая планета маршрута, то вели
rel
просто равна заданному гиперболическому избытку на
выходе из сферы действия планеты; в остальных случаях она вы
числяется по формуле
relgelio
inin
=−
где
gelio
– гелиоцентрическая скорость на входе в сферу дей
ствия в точке
, найденная из рассмотрения соответствующего
гелиоцентрического участка,
– скорость планеты в точке
Пусть выбран
– радиус−вектор узла следующей планеты в
маршруте. Вычислим гелиоцентрическую скорость на выходе из
сферы действия планеты
gelio
, которая бы определяла траекто
рию из узла
в узел
, при условии, что вход в сферу действия
планеты осуществляется со скоростью
rel
, гравитационный
маневр пассивный, а минимальное расстояние до планеты будет
отвечать некоторым требованиям−ограничениям. Именно, бу
дем считать, что для каждой планеты определены радиус сферы
,mαx
(ограничение сверху») и некоторое безопасное
расстояние
,min
(ограничение снизу»). Величина
,mαx
может
быть выбрана равной радиусу сферы действия, а
,min
может
определяться радиусом планеты и толщиной ее атмосферы. Обо
значим за параболическую скорость в точке
Искомый вектор гелиоцентрической скорости КА на выходе
из сферы действия планеты можно представить как направлен
ный отрезок с центром в точке
и концом на сфере
�jZ^b
mkZ�
�U�H�O�U�H�O
�R�X�W�L�Q
Rvv
==
с центром на конце направленного отрезка
, исходящего из точки
relrel
outout
(см. рис. 3). Так как тра
ектория должна лежать в плоскости, образованной векторами
(для краткости, будем обозначать эту плоскость буквой
),
то и вектор искомой скорости
gelio
необходимо лежит в этой
плоскости, которая отсекает от сферы
�hdjm`ghklv�
�jZ^bm
kZ�
=−
, где
– расстояние от центра сферы
�^h�
iehkdhklb�

cru
– орбитальный угловой момент планеты. Век
тор нормали к плоскости
определим равенством
sgn




rrrr
rrrr
(здесь рассматривается случай неколлинеарных векторов
и
Случай совпадения этих векторов рассматривается ниже). Пусть
– угловая дальность между
. Введем следующий базис:
31

eee
Матрица перехода из эклиптической системы координат в
систему координат, образованную векторами этого базиса, пред
ставляется в виде
13
eee
Отсюда следует, что компоненты центра окружности
�\�[Z
abk_�\_dlhjh\�
и
есть первые две компоненты вектора
а величина
равна третьей компоненте этого вектора.
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
Известно, что множеству векторов скорости, которые опреде
ляют траектории между двумя неколлинеарными точками (в на
шем случае
и
), можно однозначно сопоставить некоторую
гиперболу
с асимптотами, направленными вдоль векторов
. Таким образом, конец вектора
gelio
лежит в точках пе
ресечения гиперболы
и окружности
��dhlhjuo�\�h[s_f�kem
qZ_�fh`_l�[ulv�g_�[he__�q_luj_o��lZd�dZd�]bi_j[heZ�b�hdjm`ghklv�
ij_^klZ\eyxl�kh[hc�djb\u_�\lhjh]h�ihjy^dZ��K�ijZdlbq_kdhc�
lhqdb�aj_gby�gZk�bgl_j_kmxl�j_r_gby��hl\_qZxsb_�hj[blZevguf�
m]eh\uf�fhf_glZf�D:��dhlhju_�khklZ\eyxl�hklju_�m]eu�k�gZ
ijZ\e_gb_f�gZ�k_\_jguc�ihexk�wdebilbdb��LZdbf�h[jZahf��hklZ
xlky�g_�[he__�^\mo�lhq_d�i_j_k_q_gby�]bi_j[heu�b�hdjm`ghklb�
Ihemqbf�mjZ\g_gb_�]bi_j[heu���ey�wlh]h�h[jZlbfky�d�jZ\_gkl\m
]^_�
αrr
– угол наклона траектории в точке
на выходе
из сферы действия,
– угловая дальность. Сделаем замену пе
Рис. 3. К определению параметров пассивного гравитационного маневра
Здесь
– декартовы координаты в плоскости
в базисе
векторов
и
��±�iheyjguc�m]he��baf_jy_fuc�hl�gZijZ\
. Таким образом, уравнение гиперболы
запишется
где постоянные . Уравнение
же окружности записывается в виде
где
Mxyd
Задача о поиске пересечений гиперболы
и окружности
k\h^blky�d�j_r_gbx�Ze]_[jZbq_kdh]h�mjZ\g_gby���hc�kl_i_gb�b�
hl[hjm�lZdbo�j_r_gbc��dhlhju_�hij_^_eyxl�^\b`_gb_�D:�k�hj[b
lZevguf�m]eh\uf�fhf_glhf��khklZ\eyxs_f�hkljuc�m]he�k�hj[b
lZevguf�m]eh\uf�fhf_glhf�ieZg_lu�
. Рассмотрим два случая.
В случае
sgn
⋅×>
crr
имеем
>0
. Тогда удобно
выполнить преобразование координат
xXBY
=−
yCY
и
искать решения с
. В этом случае система
xXBY
yCY
ByCxyA
xxyy
=−
−+−=
приводит к алгебраическому уравнению 4−ой степени
43
1345
πXπXπXπXπ
++++=
с коэффициентами
=−

300
πxyB∆
=+−−
400
π∆BxCy
=−

π∆BC
=+
ByCx
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
Здесь было введено обозначение
=/
∆AC
Если же
sgn
⋅×<
crr
, то
. В этом случае удоб
но рассматривать преобразование
xBXY
=−
yCX
=−
и ис
кать решения с
. Аналогично, получаем уравнение
43
1345
πXπXπXπXπ
++++=
с коэффициентами
πBC
=+
00
πCyBx
=−

300
πxyB∆
=+−−
π∆x
Заметим, что в обоих случаях
Y∆X
и, более того, выра
жение
равносильно
X
. По значениям найденных пар
(не более двух)
XY
�k�ihfhsvx�ebg_cgh]h�ij_h[jZah\Zgby�
e_]dh�\hkklZgZ\eb\Zxlky�khhl\_lkl\mxsb_�iZju�
, а сле
довательно, величины
geliogelio
outout
и углы наклона траектории
. Этих данных достаточно для определения векторов скорости
gelio
, отвечающих траекториям из
Пусть теперь даны гелиоцентрические векторы входа и выхода
из сферы действия планеты
gelio
и
gelio
соответственно, а так
же скорость планеты
. Тогда легко определить перицентраль
ное расстояние до планеты. Относительные скорости КА равны
соответственно
relgelio
inin
=−
vvu
и
relgelio
outout
=−
vvu
. Угол пово
рота вычисляется по формуле
Эксцентриситет гиперболической орбиты
перицентральное расстояние
где – гравитационный параметр планеты. Если перицентраль
ное расстояние удовлетворяет условию
ð,minðð,mαx
rrr
≤≤
, то
данные о полученной траектории сохраняются, иначе траектория
откланяется и в базу данных не попадает.
Теперь рассмотрим случай, когда КА движется в тот же пла
нетный узел, т.е. когда
rr
. Любая точка на сфере
�hij_
^_ebl�\uoh^gmx�]_ebhp_gljbq_kdmx�kdhjhklv�
�J�H�O�L�R
, двигаясь с
которой КА вновь через некоторое время вернется в положение
. Но ограничимся лишь такими траекториями, периоды орбит
которых составляют кратное число периодов орбит планеты
πlαnet
, в поле которой совершается данный гравитационный ма
πlαnet
TkT
=1,,
Так как большая полуось орбиты на гелиоцентрическом участ
ке на выходе из сферы действия планеты связана с периодом ор
биты выражением
то значения больших полуосей
, отвечающие разным
=1,,
, а также значения выходной гелиоцентрической ско
рости в точке
, будут определяться по формулам
Абсолютные значения выходной гелиоцентрической скорости,
задаваемые формулами (1), для каждого
=1,,
определяют
сферы
�k�p_gljhf�gZ�dhgp_�\_dlhjZ�
и радиусом
gelio
. Если
для некоторого
сфера
�g_�i_j_k_dZ_l�kn_jm�
��lh�g_�kms_
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
ствует пассивного гравитационного маневра, который переводил
бы КА на орбиту с периодом
πlαnet
TkT
Пусть пересечение сфер
�b�
�kms_kl\m_l��Djb\hc�i_j_k_
q_gby�^\mo�kn_j�\�lZdhf�kemqZ_�y\ey_lky�hdjm`ghklv�
�� kemqZc�
lhqdb�g_�jZkkfZljb\Z_lky�\f��kh^_j`Zs__�[_kdhg_qgh_�dhebq_kl\h�
lhq_d��dhlhjh_�fh`gh�kmablv��mqblu\Zy�h]jZgbq_gby�gZ�agZq_gby�
i_jbp_gljZevgh]h�jZkklhygby�
Отсюда вытекает ограничение на синус половины угла пово
рота орбиты
и, окончательно, ограничения на косинус угла поворота орбиты
Центр
�hdjm`ghklb�
�e_`bl�gZ�ijyfhc��kh_^bgyxs_c�
p_glju�kn_j�
�b�
��l�_��gZ�ijyfhc��ijhoh^ys_c�\^hev�\_dlhjZ�
, на расстоянии
geliorel
in
от начала вектора
. Окружность
�e_`bl�\�iehkdhklb��dhlhjZy�
ijhoh^bl�q_j_a�lhqdm�
�b�hjlh]hgZevgZ�\_dlhjm�
, причем ее
радиус равен
gelio
out0
Rvu
Введем два ортогональных вектора
uru
uru
E
Будем параметризовать окружность
�m]ehf�
��dhlhjuc�kh
klZ\ey_l�hlj_ahd��kh_^bgyxsbc�lhqdm�gZ�hdjm`ghklb�b�__�p_glj��
k�gZijZ\e_gb_f�
��ijbq_f�hlkq_l�\�iheh`bl_evghf�gZijZ\e_
gbb�[m^_f�\_klb�ijhlb\�qZkh\hc�klj_edb��_keb�kfhlj_lv�ba�gZqZeZ�
\_dlhjZ�
. Тогда положение некоторой точки
на окружности
�k�iZjZf_ljhf�
будет задаваться формулой
а соответствующие значения гелиоцентрической и планетноцен
трической скоростей запишутся в виде
gelio
vOAu
relgelio
outout
vvu
Получим выражение для
cos
как функции угла
. Вспоми
ная, что
получим условия на параметр
где были введены обозначения
rel
in1
AR
rel
in
=⋅
rel
=⋅
min
mαx
cossin
gABCg
≤ϕ+ϕ+≤
3. Проектирование межпланетных миссий с пассивными гравитационными маневрами
rel
minin
rel
ð,min
=1
rel
mαxin
rel
ð,mαx



=−







Неравенства можно переписать в эквивалентном виде:
где .
Неравенства и формула могут быть использованы для расче
та гелиоцентрических скоростей
gelio
на выходе из сферы дей
ствия планеты. Двигаясь с такой скоростью, КА сделает виток
вокруг Солнца за время, кратное сидерическому периоду движе
ния планеты. Более того, его траектория на припланетном участ
ке полета будет удовлетворять требованиям безопасности с точки
зрения максимального приближения к планете.
4. Построение базы виртуальных траекторий
Теперь, задав формулы для расчета параметров произвольных
гелиоцентрического и планетоцентрического участков полета,
можно перейти к описанию процесса построения базы виртуаль
ных траекторий.
Будем считать, что изначально имеется база данных
в которой для всех узлов на орбите каждой из планет Солнечной
системы хранятся сведения о координатах узла в гелиоцентриче
ской эклиптической системе координат, скорости планеты в узле
и временах прохождения узла планетой.
На первом гелиоцентрическом участке любой виртуальной
траектории начальная точка является одним из узлов на орбите
Земли. Формируется таблица, столбцы которой содержат данные
в следующем порядке:
��±�ihjy^dh\uc�ghf_j�gZqZevgh]h�maeZ�i_j\h]h�mqZkldZ�
– радиус−вектор этого узла;
rel
– вектор планетоцентрической скорости КА на выходе из
сферы действия планеты старта;
gelio
– вектор гелиоцентрической скорости КА на выходе из
сферы действия планеты старта;
– радиус−вектор точки маневра в глубоком космосе на пер
вом гелиоцентрическом участке;
– вектор скорости КА в точке
до маневра;
1,1
– время полета от
��±�ihjy^dh\uc�ghf_j�maeZ�\lhjhc�ieZg_lu�\�fZjrjml_�
– радиус−вектор этого узла;
– угловая дальность между
11.
– угол наклона траектории в точке
после маневра;
– вектор скорости КА в точке
после маневра;
– величина характеристической скорости в точке
1,
– время полета от
– время полета от
– гелиоцентрическая скорость входа в сферу действия
второй планеты маршрута;
4. Построение базы виртуальных траекторий
– перицентральное расстояние до планеты во время грави
тационного маневра;
– гелиоцентрическая скорость выхода из сферы дей
Особенностью первого гелиоцентрического участка является
выбор гиперболического избытка скорости из некоторого допусти
мого множества скоростей, которое определяется характеристи
ками маршевых двигателей ракеты−носителя и разгонного блока,
а также массой
полезной нагрузки и массой
дополни
тельной двигательной установки вместе с запасом топлива для нее.
Так, при
πef
кг для ракеты−носителя Союз−ФГ»
и разгонного блока Фрегат» максимальное значение гиперболиче
ского избытка скорости при старте не превышает 4 км/с.
Перебираются все допустимые значения
rel
и
��\�
j_amevlZl_�q_]h�nhjfbjm_lky�fZkkb\�
виртуальных траекто
рий от Земли до второй планеты в выбранном планетном марш
руте. Размерность этого массива равна
N
, где
��±�qbkeh�
lZdbo�ljZ_dlhjbc��I_j\u_����kljhd�khhl\_lkl\mxl�^Zgguf�k���ih�
��imgdlu��±�^Zgguf�h�klZjl_��hklZ\rb_ky����kljhdb�khhl\_lkl\m
xl�^Zgguf�k���ih����imgdlu�h�i_j\hf�]_ebhp_gljbq_kdhf�mqZkl
d_���Ze__�ke_^m_l�jZkq_l�ieZg_lhp_gljbq_kdh]h�mqZkldZ�ljZ_dlh
jbb�hdheh�\lhjhc�ih�kq_lm�ieZg_lu�fZjrjmlZ��\�j_amevlZl_�q_]h�
d�wlhfm�fZkkb\m�^h[Z\ey_lky�_s_���kljhdb��dhlhju_�khhl\_lkl\m
xl�imgdlZf����±�����Ze__�gZqbgZ_lky�jZkq_l�]_ebhp_gljbq_kdh]h�
mqZkldZ�ljZ_dlhjbb�f_`^m�\lhjhc�b�lj_lv_c�ieZg_lZfb�fZjrjm
lZ��wlh�^Z_l����kljhdb�ZgZeh]bqguo�^Zgguo�imgdlh\���±����AZl_f�
ke_^m_l�jZkq_l�ieZg_lhp_gljbq_kdh]h�mqZkldZ�hdheh�lj_lv_c�ieZ
g_lu�fZjrjmlZ�b�lZd�^Ze__��Qbkeh�kljhd�fZkkb\Z�
в общем
где
��±�qbkeh�ieZg_l�\�fZjrjml_���j_amevlZl_�i_j_[hjZ�iZjZ
f_ljh\��Z�lZd`_�ijh\_jhd�hl^_evguo�\_ebqbg�gZ�ijbgZ^e_`ghklv�
^himklbfuf�agZq_gbyf��qbkeh�\bjlmZevguo�ljZ_dlhjbc�fZkkb\Z�
может как расти, так и уменьшаться.
104160
πππ
NNN
+−+−=−
В итоге, после расчета параметров всех
гелиоцентри
ческих участков и
гравитационных маневров, получаем
базу
виртуальных траекторий. Для каждой виртуальной тра
ектории можно определить общее время полета
=1
и суммарные затраты характеристической скорости
=1
∆=∆
Отметим, что для сложных планетных маршрутов целесоо
бразно задать изначально некоторые разумные ограничения на
максимальные значения
и
. В случае их превышения по
ходу процедуры построения базы виртуальных траекторий необ
ходимо такие траектории сразу отсеивать. Это позволяет сгладить
экспоненциальный рост числа виртуальных траекторий с увели
чением числа промежуточных планет в маршруте.
Тот факт, что орбиты планет могут считаться с хорошей точ
ностью неизменными в течение достаточно длительного срока
времени, позволяет табулировать базу виртуальных траекторий
для каждого планетного маршрута. Таким образом, при проекти
ровании конкретной миссии расчет начинается со второго этапа
метода виртуальных траекторий – наложения реального движе
ния планет.
5. Поиск и уточнение виртуальных траекторий
в соответствии с реальным движением планет
Процесс наложения реального движения планет в свою оче
редь также можно разбить на два этапа. Вначале из базы
виртуальных траекторий отбираются траектории, близкие в не
котором смысле к реально реализуемым. Пусть некоторая вир
туальная траектория проходит последовательно через
�maeh\�
gZ�hj[blZo�ieZg_l��\oh^ysbo�\�\u[jZgguc�ieZg_lguc�fZjrjml��
4. Построение базы виртуальных траекторий
Времена перелета на каждом гелиоцентрическом участке обозна
чим, как и прежде, через
ii
1,,1
iN
=−
. Если суще
ствуют такие времена
1,,
iN
прохождения планетами
соответствующих узлов, что
1,1
iiiii
ttTt
−−∆
1,,1
iN
=−
tW
где
– заранее заданная допустимая величина временно
го промаха»,
– допустимый интервал дат старта, то дан
ную виртуальную траекторию будем называть приближенной
(рис. 4). При движении по двум нижним (зачеркнутым) дугам
планета успевает выйти за границы, определяемыми временным
промахом
для данной планеты, и поэтому все виртуальные
траектории, содержащие эти дуги, отсеиваются.
Взяв любую виртуальную траекторию из базы
, можно
проверить выполнение указанного выше критерия последова
тельно для каждой пары смежных узлов, лежащих на этой тра
ектории. При этом используются векторы времен прохождения
узлов планетами, содержащиеся в базе данных
. Если
хотя бы для одной пары смежных узлов критерий не может быть
выполнен, то такая виртуальная траектория отсеивается. В ре
зультате имеем массив приближенных виртуальных траекторий.
Второй этап наложения реального движения планет состоит в
уточнении полученных приближенных виртуальных траекторий.
Рассмотрим пучок приближенных траекторий, проходящих через
один и тот же набор узлов. Проведем более подробную дискрети
зацию орбит планет вблизи узлов из данного набора (рис. 5).
Добавим возникшие таким образом новые узлы к уже имею
щимся узлам, через которые проходит пучок приближенных тра
екторий. Для любого узла из полученного набора узлов известно
его положение, а также время, когда соответствующая планета
его пройдет. Между каждыми парами найденных узлов на ка
ждом участке планета−планета» осуществляется построение
массива виртуальных траекторий, как это описано выше. Далее
полученные траектории корректируются при помощи решения
задачи Ламберта на дуге точка маневра−планета» на каждом
межпланетном участке (рис. 6). Метод решения задачи Ламберта
основан на методах, описанных в работах [17, 18] и реализован
ных ∆.
Izzo в виде oπen−source алгоритма (см.
httπs://www.esα.int/
Рис. 4. Отбор приближенных
траекторий.
5. Поиск и уточнение виртуальных траекторий в соответствии
с реальным движением планет
планет вблизи узлов прибли
женных траекторий.
Наиболее перспективные в смысле оптимизируемого функци
онала реальные траектории уточняются итерационно до нужной
степени точности: проводится более мелкая дискретизация орбит
планет вблизи соответствующих узлов, на каждом из участков
точка маневра−планета» каждого гелиоцентрического участка
между всеми парами из новой совокупности узлов находится ре
шение задачи Ламберта и т.д.
6. Время работы метода
Поскольку первый этап предлагаемого алгоритма проектиро
вания траекторий – построение базы виртуальных траекторий –
табулируется, логично сделать так, чтобы время, затрачиваемое на
вычисления на этом этапе, составляло большую часть от общего
времени расчета. Тогда, имея набор баз виртуальных траекторий
для основных 10–15 планетных маршрутов полета к планете−це
ли миссии, можно за сравнительно небольшое время провести
приближенное баллистическое проектирование траектории или,
другими словами, анализ принципиальной осуществимости этой
Как показали численные эксперименты, достаточно мелкая
дискретизация орбит планет и выбор подходящего шага по углу
наклона траектории на гелиоцентрических участках гарантиру
ют, что доля времени на первоначальное построение базы вирту
альных траекторий будет не меньше 80–90%. На наложение ре
ального движения планет – отсев и уточнение базы виртуальных
Рис. 6. Уточнение траекто
рий с помощью решения
задачи Ламберта.
траекторий – уходит 10–0% от общего времени расчета (в абсо
лютных величинах – см. табл. 1). Именно это время нужно брать
в качестве оценки быстродействия алгоритма.
Табл. 1. Характерное время работы второго этапа алгоритма (уточнение и отсев)
7. Модельные задачи перелета к Юпитеру
Для демонстрации работы метода рассмотрим задачу проек
тирования полета к Юпитеру. В качестве целевого функционала,
подлежащего минимизации, возьмем величину характеристиче
ской скорости, необходимую для выполнения импульсов в глу
боком космосе. Для примера рассмотрим два маршрута: Земля–
Земля–Юпитер (EEJ) и Земля–Венера–Земля–Земля–Юпитер
(EVEEJ). Данные маршруты были выбраны с целью сравнения
полученных траекторий с траекториями миссий
Euroπα
Cliππer Mission
[0] и
Euroπα Juπiter System Mission (Lαπlαce)
Для построения базы виртуальных траекторий орбиты Вене
ры, Земли и Юпитера дискретизировались соответственно на 16,
 и 38 равноотстоящих по истиной аномалии узлов. Это значит,
что линейные расстояния между узлами орбиты Венеры равны
44.87 млн км (0.30 а.е.), между узлами орбиты Земли равны
44.87 млн км (0.30 а.е.), и между узлами орбиты Юпитера равны
Число гравитационных маневров
Время на второй этап МВТ, минут
Абсолютные значения потраченного на расчеты времени получены для процессора Intel
Core i7−5500U с тактовой частотой .40 ГГц. Все вычисления проводились последователь
но на одном ядре. Объем оперативной памяти 8 Гб (в процессе расчетов загрузка, как
правило, не превышала 1000 Мб).
Время, затрачиваемое на отсев и уточнение базы виртуальных траекторий, может быть
различным для одного и того же планетного маршрута в зависимости от требуемой точ
ности финальной траектории и значений параметров дискретизации, используемых при
первоначальном построении базы виртуальных траекторий.
6. Время работы метода
143.6 млн км (0.95
а.е.). На дугах, соединяющих узлы планет
при движении КА, выбирались 5 равноотстоящих по эксцентри
ческой аномалии узлов, в которых рассчитывались импульсы в
глубоком космосе.
Ограничения на затраты характеристической скорости были
следующими: 5
км/с для маршрута EEJ и 1 км/с для маршрута
EVEEJ. Гиперболический избыток скорости при старте с Земли
в маршруте EEJ варьировался в интервале от 5.5
км/с до 6.5
с шагом 0.1 км/с. Траектории для маршрута EVEEJ строились с
конца: это позволило уже на раннем этапе расчетов отсеять значи
тельное количество траекторий с большими затратами характери
стической скорости на участке Земля–Юпитер. Гиперболический
избыток скорости у Юпитера при этом варьировался в интервале
от 5.0 до 6.0 км/с с шагом 0.1 км/с.
Для маршура EEJ было найдено 760534 траекторий. Для
маршрута EVEEJ было построено 5083640 виртуальных траек
торий.
В качестве минимально допустимого с точки зрения безо
пасности расстояния до поверхности планеты при выполнении
гравитационного маневра были для определенности взяты следу
ющие значения: Венера – 50 км (верхняя граница атмосферы),
Уточнение траекторий продолжалось до тех пор, пока рассто
яние между соседними узлами планет не становилось меньше
Маршрут E
Для маршрута Земля–Земля–Юпитер в интервале дат старта от
01.VII.011 до 01.IX.011 было найдено 185 приближенных тра
екторий. В результате уточнения наименьшие затраты характери
стической скорости
∆=
м/с получаются для траектории
с датой старта 15.VIII.011 и временем перелета
лет
(рис. 7). Гравитационный маневр у Земли выполняется 1.X.013.
Затраты на маневры в глубоком космосе на участке Земля–Земля
составляют 88.7 м/с, а на участке Земля–Юпитер – 0.1 м/с. Косми
ческий аппарат достигает Юпитера 07.IV.016. Полученная траек
тория похожа на траекторию миссии
космического агентства
их параметры сравниваются в табл. . Затраты характери
стической скорости в миссии
превосходят значения, получен
ные МВТ. Связано это с небаллистическими особенностями проек
тирования миссии, такими как требование обеспечить отсутствие
соединения с Солнцем в момент маневра и требование на ориента
цию бортовой антенны. Траектория аппарата, полученная методом
виртуальных траекторий, изображена на рис. 8.
7. Модельные задачи перелета к Юпитеру
Табл. . Сравнение основных параметров траектории миссии
и траектории,
найденной МВТ, в задаче перелета к Юпитеру вдоль маршрута EEJ.
МВТ
Дата старта
05.VIII.011
15.VIII.011
Пролет Земли
Подлет к Юпитеру
07.IV.016
на участке EE, м/с
на участке EJ, м/с
Гип. избыток скорости при старте, км/с
Гип. избыток скорости около Юпитера, км/с
Длительность полета, лет
Рис. 7. Характеристическая скорость и время перелета для траекторий
маршрута EEJ
Маршрут EVEEJ
Для маршрута Земля–Венера–Земля–Земля–Юпитер были
найдены две оптимальные по затратам характеристической ско
рости траектории, отвечающие различным датам прилета на
Юпитер: в интервале 01.I.08–01.I.09 для первой траектории
и 01.I.06–01.I.07 годы для второй траектории.
Первая траектория требует затрат характеристической скоро
∆=
м/с, имеет дату старта 9.XII.01 и время пе
релета
лет (см. рис. 9). При этом маневр у Венеры вы
полняется 1.V.0 года, далее у Земли – 5.X.03 года, затем
снова у Земли 6.X.05 года. Дата прибытия на Юпитер равна
08.IV.08 года. Отметим, что похожая траектория была найдена
для перспективной европейской миссии
Euroπα Cliππer Mission
Для сравнения параметры траекторий приведены в табл. 3. От
метим, что затраты характеристической скорости на участке EV
в миссии
Euroπα Cliππer Mission
зависят от даты маневра и лежат
в пределах от 0 до 100 м/с. Кроме того, так как траектории вдоль
маршрута EVEEJ проектировались с конца, гиперболический из
быток скорости у Земли не контролировался и оказался выше,
Рис. 8. Оптимальная траектория на маршруте EEJ с датой старта в диапазоне
01.VII.011–01.IX.011.
Рис. 9. Характеристическая скорость и время перелета для траекторий маршру
та EVEEJ с датой прилета в диапазоне 01.I.08–01.I.09.
7. Модельные задачи перелета к Юпитеру
Табл. 3. Сравнение основных параметров найденной МВТ и запланированной
миссией Euroπα Cliππer Mission траекторий к Юпитеру вдоль маршрута EVEEJ.
Euroπα Cliππer
МВТ
Дата старта
Пролет Венеры
14.V.0
1.V.0
Первый пролет Земли
Второй пролет Земли
Подлет к Юпитеру
04.IV.08
08.IV.08
на участке EV, м/с
на участке VE, м/с
на участке EE, м/с
на участке EJ, м/с
Гип. избыток скорости при старте, км/с
Гип. избыток скорости около Юпитера, км/с
Длительность полета, лет
чем у траектории
Euroπα Cliππer Mission
. Траектория, полученная
методом виртуальных траекторий, изображена на рис. 10 и 11.
Рис. 10. Оптимальная траек
тория на маршруте EVEEJ
с датой прилета в диапазоне
Рис.11
Участок EVEE
оптимальной траектории
маршрута EVEEJ с да
той прилета в диапазоне
Вторая траектория требует затраты характеристической ско
рости
∆=
м/с. Дата старта – 11.III.00 года, время пе
релета
лет (рис. 1). При этом маневр у Венеры вы
полняется 7.VI.00 года, далее у Земли – 6.IV.01 года, затем
8.VII.03 года. Затраты на маневры в глубоком космосе при
ходятся только на участок Земля–Земля. Космический аппарат
достигает Юпитера 05.II.06 года. Отметим также, что полу
ченная траектория схожа с запланированной в космической про
Euroπα Juπiter System Mission
(миссия
) космиче
ских агентств NASA, ESA, Роскосмос и JAXA для исследования
лун Юпитера – Европы и Ганимеда – и магнитосферы Юпитера,
Рис. 1. Характеристическая скорость и время перелета для траекторий маршру
та EVEEJ с датой прилета в диапазоне 01.I.06–01.I.07.
7. Модельные задачи перелета к Юпитеру
Табл. 4. Сравнение основных параметров найденной МВТ и запланированной
миссией Lαπlαce траекторий к Юпитеру вдоль маршрута EVEEJ.
МВТ
Дата старта
11.III.00
11.III.00
Пролет Венеры
Первый пролет Земли
7.IV.01
6.IV.01
Второй пролет Земли
Подлет к Юпитеру
на участке EV, м/с
на участке VE, м/с
на участке EE, м/с
на участке EJ, м/с
Гип. избыток скорости при старте, км/с
Гип. избыток скорости около Юпитера, км/с
Длительность полета, лет
см. табл. 4. Траектория, полученная методом виртуальных траек
торий, изображена на рис. 13 и рис. 14.
Рис. 13. Оптимальная траектория на маршруте EVEEJ с датой прилета в диапа
зоне 01.I.06–01.I.07.
Рис. 14. Участок EVEE оптимальной траектории маршрута EVEEJ с датой при
лета в диапазоне 01.I.06–01.I.07.
Заключение
Разработан метод виртуальных траекторий, который может
быть с успехом использован при проектировании сложных меж
планетных траекторий, включающих несколько пассивных гра
витационных маневров и импульсов в глубоком космосе. Являясь
по сути разновидностью классического метода полного перебо
ра, метод виртуальных траекторий отличается от него простран
ственной, а не временной привязкой к движению планет. Тот
факт, что орбиты планет могут считаться с хорошей точностью
неизменными в течение достаточно длительного срока времени
(для целей проектирования траекторий – десятки лет), позволяет
табулировать для каждого планетного маршрута наиболее ресур
соемкую часть расчетов – построение базы виртуальных траек
торий – и тем самым существенно сократить время работы алго
ритма оптимизации. Имея набор баз виртуальных траекторий для
основных 10–15 планетных маршрутов полета к планете–цели
миссии, можно за сравнительно небольшое время провести ана
лиз принципиальной осуществимости этой миссии.
Применение предлагаемой адаптации метода виртуальных тра
екторий продемонстрировано на примере задач полета к Юпитеру.
Как результат, были обнаружены резонансные траектории, позво
ляющие существенно сократить затраты топлива на гравитацион
ные маневры. Найденные на заданные интервалы старта и при
лета траектории оказались схожими с траекториями миссий
Euroπα Cliππer
и
. Отметим, что траектории типа
Euroπα
и
получаются в результате отбора и уточнения тра
екторий из одной и той же базы виртуальных траекторий.
Работа поддержана грантом Российского научного фонда
(проект 14−11−0061).
Заключение
Список литературы
∆i Liziα Π., Rαdice Γ., Izzo ∆., Vαsile M.
On the solution of interπlαnetαry
trαϕectory design πroblems by globαl oπtimisαtion methods // Πroc. Γlobαl
Oπtimisαtion Workshoπ. Armeniα. Sπαin. 005. Π. 159–164.
Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г.
Основы механики космиче
ского полета.
М.: Наука, 1990.
Левантовский В.И.
Механика космического полета в элементар
ном изложении.
М.: Наука, 1980.
Hughes Γ., McInnes C.R
. Solαr Sαil Hybrid Trαϕectory Oπtimisαtion //
Advαnces in the Astronαuticαl Sciences. 001. V. 109. Π. 369–380.
Rogαtα Π., ∆i Sotto E., Γrαziαno M., Γrαziαni F
. Γuess vαlue for
interπlαnetαry trαnsfer design through genetic αlgorithms // Πroc. 13th AAS/
AIAA Sπαce Flight Mechαnics Meeting. AAS 03−140. Πonce, Πuerto Rico,
∆αchwαld B
. Oπtimizαtion of solαr sαil interπlαnetαry trαϕectories using
evolutionαry neurocontrol // J. Γuidαnce, Control, αnd ∆ynαmics. 004. V.
7. № 1. Π. 66–7.
Wirthmαn ∆.J., Παrk S.Y., Vαdαli S.R
. Trαϕectory oπtimizαtion using
παrαllel shooting method on παrαllel comπuter // J. Γuidαnce, Control, αnd
∆ynαmics. 1995. V. 18. № . Π. 377–379.
Hαrtmαnn J.W., Coverstone−Cαrroll V.L., Williαms S.N.
Oπtimαl
interπlαnetαry sπαcecrαft trαϕectories viα α Παreto genetic αlgorithm // J.
Astronαuticαl Sciences. 1998. V. 46. № 3. Π. 67–8.
Vαsile M
. A globαl αππroαch to oπtimαl sπαce trαϕectory design //
Advαnces in the Astronαuticαl Sciences. 003. V. 114. Π. 61–640.
Sentinellα M.R.
Comπαrison αnd integrαted use of differentiαl
evolution αnd genetic αlgorithms for sπαce trαϕectory oπtimisαtion // Πroc.
11.
Storn R.M., Πrice K.V.
∆ifferentiαl evolution – A simπle αnd ef�cient
heuristic for globαl oπtimizαtion over continuous sπαces // J. Γlobαl
Oπtimizαtion. 1997. V. 11. Π. 341–359.
Storn R.M., Πrice K.V., Lαmπinen J.A.
∆ifferentiαl evolution: α
πrαcticαl αππroαch to globαl oπtimizαtion // Nαturαl comπuting series / Ed. by
Rozenberg Γ. Sπringer, Berlin, 005.
Kennedy J., Eberhαrt R.
Παrticle swαrm oπtimizαtion // Πroc. IEEE
Internαtionαl Conference on Neurαl Networks. Πerth, Austrαliα, 1995.
Федотов Г.Г.
Оптимизация траекторий полета КА с ЭРД при ис
пользовании гравитационного маневра // Космич. исслед. 004. Т. 4. №
4. С. 404–413. (Cosmic Reseαrch. Π. 389).
Григорьев И.С
Григорьев К.Г.
Об использовании решений задач
оптимизации траекторий КА импульсной постановки при решении за
дач оптимального управления траекториями КА с реактивным двигате
лем ограниченной тяги. I // Космич. исслед. 007. Т. 45. № 4. С. 358–366.
(Cosmic Reseαrch. Π. 339).
Петухов В.Г.
Оптимизация межпланетных траекторий космиче
ских аппаратов с идеально−регулируемым двигателем методом продол
жения // Космич. исслед. 008. Т. 46. № 3. С. 4–37. (Cosmic Reseαrch.
Π. 19).
Lαncαster E.R., Blαnchαrd R.C.
A uni�ed form of Lαmbert’s theorem
// NASA technicαl note. TN ∆−5368. 1969.
Γooding R.H.
A πrocedure for the solution of Lαmbert’s orbitαl
boundαry−vαlue πroblem // Celestiαl Mechαnics αnd ∆ynαmicαl Astronomy.
1990. V. 48. № . Π. 145–165.
Kowαlkowski T.∆., Johαnnesen J.R., Lαm T
. Lαunch Πeriod
∆eveloπment for the Juno Mission to Juπiter // Πroc. AIAA/AAS
Astrodynαmics Sπeciαlist Conference αnd Exhibit. AIAA 008−7369.
Buf�ngton B.
Trαϕectory design for the Euroπα Cliππer mission
conceπt // Πroc. AIAA/AAS Astrodynαmics Sπeciαlist Conference. AIAA
Boutonnet A., Schoenmαekers J.
JUICE: Consolidαted Reπort on
Mission Anαlysis (CReMA) // ESA. 01. Reference WΠ−578, Issue 1, 01−
Список литературы
М.Г. Широбоков, С.П. Трофимов
Проектирование межпланетных перелетов
с несколькими гравитационными маневрами
и промежуточными импульсами
Формат 60 х 84/16
Гарнитура Таймс
Усл. печ. л. ,1. Усл. изд. л. 1,05
Тираж 0 экз.
Отпечатано на оборудовании Управления делами РАН
Издано в авторской редакции
Издается в соответствии с распоряжением
президиума Российской академии наук
от 4 октября 017 г. №10106−765,
распространяется бесплатно.
Издатель ‒ Российская академия наук
Подготовлено к печати
Управлением научно−издательской деятельности РАН
Отделение математических наук
Проектирование межпланетных перелетов с несколькими
гравитационными маневрами и промежуточными импульсами

Приложенные файлы

  • pdf 7788904
    Размер файла: 838 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий