source:combinatorics/diamond-lemma-g11.tex. [Московские сборы по математике] [14–28 июня 2016]. В. А. Брагин, И. В. Митрофанов.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
28июня2016

14июня2016
(
Московскиесборы
секцияматематики
)

Немногооструктуре
Материалыразбитыпогруппам,впределахкаждойгруппыотсортированыпотемам:

тренировочныеолимпиады;

алгебра;

теориячисел;

многочлены;

неравенства;

геометрия;

комбинаторика;

теорияграфов.
Материалы,общиедлянесколькихгрупп,дублируются.Всематериалысопровождаютсяссыл-
каминаисходныефайлыL
A
T
E
X.
source:integral.tex
Оглавление
110-3
1
Неравенства.Квадратныйтрехчлен
.............................
2
Транснеравенство
.......................................
3
ТеоремыФермаиЭйлера
...................................
4
Показатели
...........................................
5
Линейныерекурренты
....................................
6
Изодинамическиецентры
...................................
8
Изогональноесопряжение
..................................
10
Разнобой-повторение
.....................................
12
210-2
13
Разнобойпотеориичисел
...................................
14
Изодинамическиецентры
...................................
15
Изогональноесопряжение
..................................
17
Разнобой-повторение
.....................................
19
310-1
21
Разнобойпотеориичисел
...................................
22
ДобавкапоТЧ
..........................................
23
Изодинамическиецентры
...................................
24
Изогональноесопряжение
..................................
26
Разнобой-повторение
.....................................
28
411-2
31
НеравенствоИтенсена
.....................................
32
Всякиеразныенеравенства
..................................
33
ТеоремаБезу.Вокругдаоколо
................................
34
Производные
..........................................
35
Многочленысцелымикоэффициентами
..........................
36
Симметрическиемногочленыисистемы
..........................
37
Теоретическийминимум
...................................
38
ЧислаКаталана
.........................................
40
Diamondlemma
.........................................
42
Разнобой
.............................................
43
Конечноеибеконечное
....................................
44
iii
Разнобойпокомбинаторике
.................................
45
511-1
47
Производные
..........................................
48
ПрямаяСимсона
........................................
49
ЧислаКаталана
.........................................
51
Diamondlemma
.........................................
53
Разнобой
.............................................
54
ЛеммаКёнигаипрочеебесконечное
............................
55
Разнобойпокомбинаторике
.................................
57
Глава1
10-3
1
[Московскиесборыпоматематике]
ХскардлоридовичНазмутдинов
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
19июня2016г.,пара1
Неравенства.Квадратныйтрехчлен
1.
Докажите,чтодлялюбых
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
выполненонеравенство
ܽ
2
ܾ
2

2
ܿ
2

2
ܿ
2
⩾ܾܽܿ(ܽ+ܾ+ܿ).
2.
Пусть
ݔ,ݕ,ݖ∈[0;1]
.Докажите,что
3(ݔ
2
ݕ
2

2
ݖ
2

2
ݖ
2
)−2ݔݕݖ(ݔ+ݕ+ݖ)⩽3.
3.
Пусть
ܽ,ܾ,ܿ,݀∈[0;1]
.Докажите,что
(ܽ+ܾ+ܿ+݀+1)
2
⩾4(ܽ
2

2
+ܿ
2

2
).
4.
Длянеотрицательныхчисел
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
,
݀
докажите,что
(ܾܽ+ܾܿ+ܽܿ)
2
⩾3ܾܽܿ(ܽ+ܾ+ܿ).
source:algebra/inequality/quadratic-trinomial-g10r3.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ХскардлоридовичНазмутдинов
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
17июня2016г.,пара2
Транснеравенство
Транснеравенство.
Если
ܽ
1
⩾…⩾ܽ

,
ܾ
1
⩾…⩾ܾ

и
{�
1
,…,�

}={1,…,݊}
,то
ܽ
1
ܾ
1
+…+ܽ

ܾ

⩾ܽ
1
ܾ

1
+…+ܽ

ܾ


⩾ܽ
1
ܾ

+…+ܽ

ܾ
1
.
1.
НеравенствоЧебышёва.
Докажите,чтодлячисел
ܽ
1
⩾…⩾ܽ

,
ܾ
1
⩾…⩾ܾ

справед-
ливонеравенство
݊⋅(ܽ
1
ܾ
1
+…+ܽ

ܾ

)⩾(ܽ
1
+…+ܽ

)⋅(ܾ
1
+…+ܾ

)⩾݊⋅(ܽ
1
ܾ

+…+ܽ

ܾ
1
).
2.
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
—положительныечисла.Докажитенеравенство
ܽ⋅2

+ܾ⋅2

+ܿ⋅2

⩾ܽ⋅2

+ܾ⋅2

+ܿ⋅2

.
3.
ݔ
1
,
ݔ
2
,
ݔ
3
,
ݔ
4
,
ݔ
5
—положительныечисла.Докажитенеравенство
ݔ
2
1
ݔ
2
+
ݔ
2
2
ݔ
3
+
ݔ
2
3
ݔ
4
+
ݔ
2
4
ݔ
5
+
ݔ
2
5
ݔ
1
⩾ݔ
1

2

3

4

5
.
4.
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
—положительныечисла.Докажитенеравенство
ܽ+ܾ+ܿ⩾
ܽ(ܾ+1)
ܽ+1
+
ܾ(ܿ+1)
ܾ+1
+
ܿ(ܽ+1)
ܿ+1
.
5.
Пусть


}
—последовательностьразличныхнатуральныхчисел.Докажитенеравен-
ство
ܽ
1
1
2
+
ܽ
2
2
2
+…+
ܽ

݊
2
⩾1+
1
2
+…+
1
݊
.
6.
Пусть
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
—сторонытреугольника,а
ߙ
,
ߚ
,
ߛ
—соответствующиеуглытогожетре-
угольника.Докажитенеравенство
ߙܽ+ߚܾ+ߛܿ⩾
1
2
(ߙܾ+ߚܿ+ߛܾ+ߙܿ+ߚܽ+ߛܽ).
7.
Дляположительных
ܽ

докажитенеравенство.

௜<௝

ܽ

ܽ


݊−1
2


௜=1
ܽ

.
8.
Пусть
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
,
݀
—положительныечисла.Докажитенеравенство
1
ܽ
+
1
ܾ
+
4
ܿ
+
16
݀

64
ܽ+ܾ+ܿ+݀
.
source:algebra/inequality/rearrangement-g10r3.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ХскардлоридовичНазмутдинов
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
22июня2016г.,пара1
ТеоремыФермаиЭйлера
МалаятеоремаФерма(1).
Пусть
݌
—простоечисло,
ܽ
неделитсяна
݌
.Тогда

௣−1
−1)
делитсяна
݌
.
МалаятеоремаФерма(2).
Пусть
ܽ
—целоечисло,
݌
—простое.Тогда


−ܽ)
делитсяна
݌
.
ТеоремаЭйлера.
Пусть
ܽ
и
݊
—натуральные,взаимнопростыечисла.Определим
функцию
Эйлера
φ(݊)
какколичествонатуральныхчисел,непревосходящих
݊
ивзаимнопростых
сним.Тогда

φ(௡)
−1)
делитсяна
݊
.
1.
Сумматрехчисел
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
делитсяна
30
.Докажите,что
ܽ
5

5
+ܿ
5
такжеделитсяна
30
.
2.
Найдитевсетакиецелыечисла
ܽ
,длякоторыхчисло
ܽ
10
+1
делитсяна
10
.
3.
Докажите,что
30
239
+239
30
—составное.
4.
Существуетлистепеньтройки,заканчивающаясяна
0001
?
5.
(a)
Докажите,чтониприкакомцелом
݇
число
݇
2
+݇+1
неделитсяна
101
.
(b)
Пусть
݌
—простоечислои
݌>3
.Докажите,чтоеслиразрешимосравнение
ݔ
2
+
ݔ+1≡0(mod݌)
,то
݌≡1(mod6)
.Выведитеотсюдабесконечностьмножества
простыхчиселвида
6݊+1
.
(c)
Пусть
݌
—простоечислои
݌>5
.Докажите,чтоеслиразрешимосравнение
ݔ
4
+
ݔ
3

2
+ݔ+1≡0(mod݌)
,то
݌≡1(mod5)
.Выведитеотсюдабесконечность
множествапростыхчиселвида
5݊+1
.
6.
ТеоремаВильсона.
Пусть
݌
—простоечисло.Докажите,что
(݌−1)!≡−1(mod݌)
.
7.
(a)
Пусть
݌
,
ݍ
—различныенатуральныечисла,
ܽ
—натуральное.Найдите
φ(݌

)
,
φ(݌ݍ)
.
(b)
Докажите,чтоесли
ܽ
,
ܾ
—взаимнопросты,то
φ(ܾܽ)=φ(ܽ)⋅φ(ܾ)
(c)
Найдите
φ(݊)
,где
݊=݌

1
1
⋅…⋅݌



.
8.
УсилениетеоремыЭйлера.
Пусть
݉=݌

1
1
⋅…⋅݌



,
ݔ=
HOK
(
φ(݌

1
1
),…,φ(݌



)
)
.Докажите,
чтодлялюбого
ܽ
,взаимнопростогос
݉
,выполняетсясравнение
ܽ

≡1(mod݉)
.
9.
Пусть
݌
—простоечисло,тогда
(11…122…233…99−123456789)
(впервомчислекаж-
даяцифравстречаетсяровно
݌
раз)делитсяна
݌
.
10.
Докажите,чтовлюбойарифметическойпрогрессиисоставленнойизнатуральныхчи-
сел,естьбесконечномногочленов,вразложениикоторыхнапростыемножителивхо-
дятвточностиодниитежепростыечисла.
source:algebra/number-theory/euler-theorem-g10r3.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ХскардлоридовичНазмутдинов
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
24июня2016г.,пара2
Показатели
1.
Пусть
ܽ
,
݊
—взаимнопростыечисла.Рассмотримпоследовательностьостатковпомо-
дулю
݊
следующихчисел:
1
,
ܽ
,
ܽ
2
,…Докажите,чтоэтапоследовательностьпериодиче-
скаяинесодержитпредпериода.
Определение.
Минимальныйпериодпоследовательностиостатковизпредыдущейзадачи
называется
показателем
ܽ
помодулю
݊
.Далеебудемобозначатьегобуквой
݀
.
2.
Зафиксируемвзаимнопростыечисла
ܽ
и
݊
.
(a)
Докажите,что
݀
—показатель
ܽ
помодулю
݊
тогдаитолькотогда,когда
݀
—наи-
меньшеетакоенатуральноечисло,что


−1)
делитсяна
݊
.
(b)
Пусть
݀
—показатель
ܽ
помодулю
݊
.Пусть
ܽ

≡1(mod݊)
.Докажите,что
݀|݈
.
(c)
Докажите,что
ܽ

≡ܽ

(mod݊)
тогдаитолькотогда,когда
ݏ≡ݎ(mod݀)
.
(d)
Докажите,чтопоказательлюбоговзаимнопростогос
݊
числапомодулю
݊
делит
φ(݊)
(функцияЭйлера).
3.
Найдитевсепростые
݌
и
ݍ
такие,что
ݍ|(2

−1)
и
݌|(2

−1)
.
4.
Докажите,чтоесли
ܽ>1
,то
݊
делит
φ(ܽ

−1)
.
5.
(a)
Пусть
݌>2
—простоечисло.Докажите,чтолюбойпростойделительчисла



1)
илиделит
(ܽ−1)
илиимеетвид
2݌ݔ+1
.
(b)
Выведитеотсюда,чтопростыхчиселвида
2݌݇+1
бесконечномного.
6.
Найдитевсепростые
݌
и
ݍ
,длякоторых
5

+5

делитсяна
݌ݍ
.
7.
Найдитевсенатуральные
݊
такие,что
݊|(2

−1)
.
source:algebra/number-theory/exponent-g10r3.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ХскардлоридовичНазмутдинов
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
26июня2016г.,пара1
Линейныерекурренты
Определение.
Последовательностьчисел
ܽ
0
,
ܽ
1
,…,
ܽ

,…,котораяудовлетворяетсзаданны-
ми
݌
и
ݍ
соотношению
ܽ
௡+2
=݌ܽ
௡+1
+ݍܽ

,݊=0,1,2,…
называется
линейнойрекуррентной(возвратной)последовательностьювторогопорядка.
Уравнение
ݔ
2
−݌ݔ−ݍ=0
называется
характеристическим
уравнениемпоследовательности


}
.
0.
Пустьпоследовательности
ܽ

и
ܾ

являютсялинейнымирекуррентнымипоследова-
тельностямивторойпорядка,содинаковыми
݌
и
ݍ
.Докажите,чтопоследовательность
ߙܽ

+ߚܾ

такжеявляетсяреккурентнойпоследовательностьювторогопорядка(сте-
миже
݌
,
ݍ
).
1.
(a)
Докажите,чтогеометрическаяпрогрессия


}=ܾݔ

0
удовлетворяетсоотноше-
нию
ܽ
௡+2
=݌ܽ
௡+1
+ݍܽ

(
݊=0,1,2,…
)тогдаитолькотогда,когда
ݔ
0
—кореньхарак-
теристическогоуравнения
ݔ
2
−݌ݔ−ݍ=0
.
(b)
Пустьхарактеристическоеуравнениепоследовательности


}
имеетдваразлич-
ныхкорня
ݔ
1
и
ݔ
2
.Докажите,чтопрификсированных
ܽ
0

1
существуетровнооднапа-
рачисел
ܿ
1
,
ܿ
2
такая,что
ܽ

=ܿ
1
ݔ

1
+ܿ
2
ݔ

2
(
݊⩾0
).
2.
Найдитеформулу
݊
-гочленадляпоследовательностей,заданныхусловиями:
(a)
ܽ
0
=0
,
ܽ
1
=1
,
ܽ
௡+2
=5ܽ
௡+1
−6ܽ

,
݊⩾0
;
(b)
ܽ
0
=1
,
ܽ
1
=2
,
ܽ
௡+2
=2ܽ
௡+1
−ܽ

,
݊⩾0
;
(c)
ЧислаФибоначчи.
ܨ
0
=0,ܨ
1
=1,ܨ
௡+2

௡+1


,
݊⩾0
.
3.
Пустьхарактеристическоеуравнениепоследовательности


}
имееткорень
ݔ
0
крат-
ности
2
.Докажите,чтопрификсированных
ܽ
0
,
ܽ
1
существуетровнооднапарачисел
ܿ
1
,ܿ
2
такая,что
ܽ

=(ܿ
1
+ܿ
2
݊)ݔ

0
,݊=0,1,2,….
4.
Садовник,прививчеренокредкогорастения,оставляетегорастидвагода,азатемеже-
годноберетотнегопо
6
черенков.Скаждымновымчеренкомонпоступаетаналогич-
но.Сколькобудетрастенийичеренковна
݊
-омгодуростапервоначальногорастения?
5.
Биологвыращиваетмикробов,живущихпоследующемупринципу:впервыйденьпо-
слерождения,ровнов8:30каждыймикробпорождает5новыхмикробов.вовторой
ипоследующиеднипослерожденияровнов9:00каждыйсъедает4(новорожденных)
микроба.Изначальноубиологабыл1микроб,сколькомикробовбудетунегона
݊
-ый
день?
6.
Лягушкапрыгаетповершинамтреугольника
ܣܤܥ
,перемещаяськаждыйразводну
изсоседнихвершин.Сколькимиспособамионаможетпопастьиз
ܣ
в
ܣ
за
݊
прыжков?
7.
Внулевоймоментвремениввершине
ܣ
шестиугольника
ܣܤܥܦܧܨ
сидитлягушка.Каж-
дуюсекундулягушкаперепрыгиваетводнуизсоседнихвершин,выбираянаправле-
ниеслучайнымобразомравновероятно.Сколькимиспособамионаможетпопастьиз
ܣ
в
ܥ
за
݊
прыжков?
source:algebra/recurrence-relation-g10/r3.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
22июня2016г.,пара2
Изодинамическиецентры
Точка
ܣ݌
называется
изодинамическимцентромтреугольника,
еслиеепроекциинасторо-
ныявляютсявершинамиравностороннеготреугольника.
1.
(a)
Даностроугольныйтреугольник
ܣܤܥ
иегоизодинамическийцентр
ܣ݌
,лежащий
внутритреугольника.Прямые
ܣܣ݌
,
ܤܣ݌
и
ܥܣ݌
повторнопересекаютописаннуюокруж-
ностьтреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
.Докажите,чтотреугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
рав-
носторонний.
(b)
Сформулируйтеидокажитеобратноеутверждение.
2.
Данычисла
݇
1
,
݇
2
,…,
݇

,
ܿ
иточкинаплоскости
ܣ
1
,
ܣ
2
,…,
ܣ

.Докажите,чтомножество
точек
ܺ
,обладающихтемсвойством,что
݇
1
ܣ
1
ܺ
2
+…+݇

ܣ

ܺ
2
=ܿ
(a)
при
݇
1
+…+݇

≠0
являетсяокружностью,точкойилипустыммножеством;
(b)
при
݇
1
+…+݇

=0
являетсяпрямой,плоскостьюилипустыммножеством.
ОкружностьАполлония


неравнобедренноготреугольника
ܣܤܥ
—этогеометрическое
местоточек
ܯ
,длякоторых
ܯܤ∶ܯܥ=ܣܤ∶ܣܥ
.Аналогичноопределяютсяокружности
Аполлония


и


.
3.
Докажите,что
(a)
отрезок,соединяющийоснованиябиссектрисвнутреннегоивнешнегоугловпри
вершине
ܣ
,являетсядиаметромокружностиАполлония


;
(b)
центрокружностиАполлония


—точкапересечениякасательнойкописанной
окружностиввершине
ܣ
спрямой
ܤܥ
;
(c)
радикальнаяосьокружности


иописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ

этосимедианатреугольника
ܣܤܥ
,проведеннаяизвершины
ܣ
.
4.
(a)
Данаточка
ܲ
итреугольник
ܣܤܥ
.Докажите,чтостороныпедальноготреуголь-
ника,соответствующеготочке
ܲ
,вычисляютсяпоформулам
ܽ⋅ܲܣ/(2ܴ)
,
ܾ⋅ܲܤ/(2ܴ)
,
ܿ⋅ܲܥ/(2ܴ)
.Взадачеиспользованыстандартныеобозначениядлятреугольника
ܣܤܥ
.
(b)
Выведитеизпункта(
4a
)
теоремуПтолемея:
ܲܣ⋅ܤܥ+ܲܤ⋅ܥܣ⩾ܲܥ⋅ܣܤ,
причемравенстводостигаетсятольковслучае,когдаточка
ܲ
лежитнадуге
ܣܤ
опи-
саннойоколотреугольника
ܣܤܥ
окружности.
(c)
Докажите,чтоизодинамическийцентрпринадлежитвсемтремокружностямАпол-
лония.
5.
(a)
Докажите,чтотриокружностиАполлонияимеютобщуюрадикальнуюось,про-
ходящуючерезцентрописаннойокружности.
(b)
Докажите,чтоизодинамическихцентраунеравенобедренноготреугольникаров-
нодва.
(c)
Докажите,чтоизодинамическиецентрысимметричны(являютсяинверснымиоб-
разамидругдруга)относительноописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Докажите,чтоизодинамическиецентры,центрописаннойокружностииточкаЛему-
аналежатнаоднойпрямой
(осьБрокаратреугольника).
7.
(a)
Пусть
ܣ݌
—изодинамическийцентр,лежащийвнутриостроугольноготреуголь-
ника
ܣܤܥ
.Каковуголмеждуописаннойокружностьютреугольника
ܣܤܥ
иописанной
окружностьютреугольника
ܣ݌ܤܥ
?
(b)
Выразитеуглы
∠ܣܣ݌ܤ
,
∠ܤܣ݌ܥ
и
∠ܥܣ݌ܣ
черезуглытреугольника
ܣܤܥ
.
source:geometry/isodynamic-point-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
19июня2016г.,пара2
Изогональноесопряжение
Определение.
Дантреугольник
ܣܤܥ
.Дветочки
ܲ
и
ܳ
называются
изогональносопряженны-
ми
относительнотреугольника
ܣܤܥ
,еслипрямые
ܲܣ
и
ܳܣ
симметричныотносительнобис-
сектрисыугла
ܣ
,прямые
ܲܤ
и
ܳܤ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܤ
,апрямые
ܲܥ
и
ܳܥ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܥ
.
1.
(a)
Докажите,чтоточкапересечениявысотицентрописаннойокружноститреуголь-
никаизогональносопряжены.
(b)
Какиеточкиизогональносопряженысамимсебе?
(c)
Касательныекописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܤ
и
ܥ
пересе-
каютсявточке
ܲ
.Точка
ܳ
симметричнаточке
ܣ
относительносерединыотрезка
ܤܥ
.
Докажите,что
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.
(d)
Докажите,чтоизогональносопряженыточка,изкоторойсторонытреугольника
видныподуглом
120

(точкаТорричелли)
иточка,проекциикоторойнасторонытре-
угольникаобразуютравностороннийтреугольник
(изодинамическийцентртреуголь-
ника)
.
(e)
Докажите,чтоизогональносопряженыточкапересечениямедиантреугольника
иточка,длякоторойсуммаквадратоврасстоянийдоегосторонминимальна.
2.
(a)
Пустьточки
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.Пусть
ݔ
,
ݕ
и
ݖ
—расстоянияотточки
ܲ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,а
ݔ

,
ݕ

и
ݖ


расстоянияотточки
ܳ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно.Докажите,что
ݔ⋅ݔ

=
ݕ⋅ݕ

=ݖ⋅ݖ

.
(b)
Опустимизточки
ܲ
перпендикулярынасторонытреугольника(илиихпродол-
жения)ирассмотримокружность,проходящуючерезоснованияперпендикуляров.До-
кажите,чтоэтаокружностьсовпадаетсокружностью,построеннойтакимжеобразом
дляточки
ܳ
.
(c)
Выведитеизпункта(
2b
),чтооснованиявысоттреугольникаисерединыегосто-
ронлежатнаоднойокружности.
3.
(a)
Вокружностьвписаншестиугольник
ܣܤܥܦܧܨ
.Отрезок
ܣܥ
пересекаетсясотрез-
ком
ܤܨ
вточке
ܺ
,
ܤܧ
с
ܣܦ
—вточке
ܻ
и
ܥܧ
и
ܦܨ
вточке
ܼ
.Докажите,чтотреугольники
ܣܤܻ
и
ܧܦܻ
подобны,причемточкевтреугольнике
ܣܤܻ
,изогональносопряженнойточ-
ке
ܺ
,соответствуетточка
ܼ
втреугольнике
ܧܦܻ
.
(b)
Выведитеизпункта(
3a
),чтоточки
ܺ
,
ܻ
и
ܼ
лежатнаоднойпрямой.
4.
Докажите,чтоприизогональномсопряженииокружность,проходящаячерезверши-
ны
ܤ
и
ܥ
,отличнаяотописанной,переходитвокружность,проходящуючерез
ܤ
и
ܥ
.
5.
Втрапеции
ܣܤܥܦ
боковаясторона
ܥܦ
перпендикулярнаоснованиям,
ܱ
—точкапере-
сечениядиагоналей.Наописаннойокружноститреугольника
ܱܥܦ
взятаточка
ܵ
,диа-
метральнопротивоположнаяточке
ܱ
.Докажите,что
∠ܤܵܥ=∠ܣܵܦ
.
6.
Сторонытреугольника
ܣܤܥ
видныизточки
ܶ
подуглами
120

.Докажите,чтопрямые,
симметричныепрямым
ܣܶ
,
ܤܶ
и
ܥܶ
относительнопрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,
пересекаютсяводнойточке.
source:geometry/isogonal-conjugate-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Плюшки
26июня2016г.,пара2
Разнобой-повторение
1.
Точка
ܺ
внетреугольника
ܣܤܥ
такова,что
ܣ
лежитвнутритреугольника
ܤܺܥ
.Приэтом
2∠ܺܤܣ=∠ܣܥܤ
,
2∠ܺܥܣ=∠ܣܤܥ
.Докажите,чтоцентрыописаннойивневписанной
состороны
ܤܥ
окружностейтреугольника
ܣܤܥ
иточка
ܺ
лежатнаоднойпрямой.
2.
Найдитевнутритреугольникаточкусминимальнойсуммойквадратоврасстояний
довершин.
3.
Наокружностиданыточки
ܣ
,
ܤ
,
ܥ
,
ܦ
такие,что
ܣܤ
—диаметркруга,а
ܥܦ
—нет.Дока-
жите,чтопрямая,соединяющаяточкупересечениякасательныхкокружностивточ-
ках
ܥ
и
ܦ
сточкойпересеченияпрямых
ܣܥ
и
ܤܦ
,перпендикулярнапрямой
ܣܤ
.
4.
Вписаннаяокружностьтреугольника
ܣܤܥ
касаетсясторон
ܣܤ
и
ܣܥ
вточках
ܥ
1
и
ܣ
1
соответственно.Медиана
ܣܯ
пересекает
ܤ
1
ܥ
1
вточке
ܨ
.Докажите,что
ܨܫ⊥ܤܥ
,где
ܫ

центрвписаннойокружности.
5.
Окружностькасаетсясторонтреугольника
ܣܤ
и
ܤܥ
треугольника
ܣܤܥ
вточках
ܦ
и
ܧ
,
атакжевнутреннимобразомописаннойокружноститреугольника.Докажите,что
ܦܧ
проходитчерезцентрвписаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Вписаннаявтреугольник
ܣܤܥ
окружностькасаетсясторон
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
соответственно.Черезточку
ܣ
1
проведенапрямая

,перпендикулярнаяотрез-
ку
ܣܣ
1
.Онапересекаетсяспрямой
ܤ
1
ܥ
1
вточке
ܺ
.Докажите,чтопрямая
ܤܥ
делитот-
резок
ܣܺ
пополам.
7.
Востроугольномтреугольнике
ܣܤܥ
точки
ܫ

и
ܫ

—центрывневписанныхокружно-
стей,
ܪ
—основаниевысотыизвершины
ܤ
.Прямая
ܫ

ܪ
пересекает
ܤܥ
вточке
ܣ

,апря-
мая
ܫ

ܪ
пересекает
ܣܤ
вточке
ܥ

.Докажите,что
ܣ

ܥ

проходитчерезцентрвписанной
окружноститреугольника
ܣܤܥ
.
8.
Всегмент,ограниченныйхордойидугой
ܣܤ
окружности,вписанаокружность

сцен-
тром
ܫ
.Обозначимсерединууказаннойдуги
ܣܤ
через
ܯ
,асерединудополнительной
дугичерез
ܰ
.Източки
ܰ
проведеныдвепрямые,касающиеся

вточках
ܥ
и
ܦ
.Проти-
воположныестороны
ܣܦ
и
ܤܥ
четырехугольника
ܣܤܥܦ
пересекаютсявточке
ܻ
,аего
диагоналипересекаютсявточке
ܺ
.Докажите,чтоточки
ܺ
,
ܻ
,
ܫ
и
ܯ
лежатнаоднойпря-
мой.
9.
Серединныйперпендикуляркдиагонали
ܣܥ
вписанногочетырехугольника
ܣܤܥܦ
пе-
ресекаетпрямые
ܣܦ
и
ܥܦ
вточках
ܲ
и
ܳ
.Докажите,чтобиссектрисыуглов
ܣܤܥ
и
ܲܤܳ
совпадают.
10.
Четырехугольник
ܣܤܥܦ
вписанвокружностьсцентром
ܱ
идиаметром
ܣܥ
.Касатель-
наявточке
ܥ
кокружностипересекаетпрямую
ܤܦ
вточке
ܲ
.Луч
ܣܤ
пересекаетотре-
зок
ܱܲ
вточке
ܧ
.Докажите,что
∠ܦܥܧ=90

.
source:geometry/mixture-g10/r3.tex
Глава2
10-2
13
[Московскиесборыпоматематике]
ЛеонидХндреевичПопов
[
14228июня2016
]группа:
Батоны
25июня2016г.,пара1
Разнобойпотеориичисел
1.
Найдитенаибольшийобщийделительчисел
ܣ

=2
3௡
+3
6௡+2
+5
6௡+2
,
где
݊=0,1,…,2016.
2.
Найдитевсетакиепарыцелыхположительныхчисел
(݉,݊)
,что
5
5
−5
4
+5


2
.
3.
Многочлен
݂(ݔ)
сцелымикоэффициентаминазывается
три-делимым
,если
3
делит
݂(݇)
длялюбогонатурального
݇
.Сформулируйтекритерийтри-делимостимногочле-
на.
4.
Пусть
݂(ݔ)=ݔ
௣−1

௣−2
+…+ݔ+1
,где
݌
—простоечисло.Натуральноечисло
݉
таково,
что
݌|݉
.Докажите,чтолюбойпростойделитель
݂(݉)
взаимнопростс
݉(݉−1)
.
5.
Докажите,чтодлялюбогопростого
݌
число
݌
௣+1
+(݌+1)

неявляетсяточнымквад-
ратом.
6.
Решитевнатуральныхчислахуравнение
ݔ
2

3
=2

+16
.
7.
Найдитевсенатуральныечисла
݉
и
݊
,длякоторых
݊

=(݊−1)!+1
.
source:algebra/number-theory/mixture-g10/r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Батоны
24июня2016г.,пара1
Изодинамическиецентры
Точка
ܣ݌
называется
изодинамическимцентромтреугольника,
еслиеепроекциинасторо-
ныявляютсявершинамиравностороннеготреугольника.
1.
(a)
Даностроугольныйтреугольник
ܣܤܥ
иегоизодинамическийцентр
ܣ݌
,лежащий
внутритреугольника.Прямые
ܣܣ݌
,
ܤܣ݌
и
ܥܣ݌
повторнопересекаютописаннуюокруж-
ностьтреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
.Докажите,чтотреугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
рав-
носторонний.
(b)
Сформулируйтеидокажитеобратноеутверждение.
2.
Данычисла
݇
1
,
݇
2
,…,
݇

,
ܿ
иточкинаплоскости
ܣ
1
,
ܣ
2
,…,
ܣ

.Докажите,чтомножество
точек
ܺ
,обладающихтемсвойством,что
݇
1
ܣ
1
ܺ
2
+…+݇

ܣ

ܺ
2
=ܿ
(a)
при
݇
1
+…+݇

≠0
являетсяокружностью,точкойилипустыммножеством;
(b)
при
݇
1
+…+݇

=0
являетсяпрямой,плоскостьюилипустыммножеством.
ОкружностьАполлония


неравнобедренноготреугольника
ܣܤܥ
—этогеометрическое
местоточек
ܯ
,длякоторых
ܯܤ∶ܯܥ=ܣܤ∶ܣܥ
.Аналогичноопределяютсяокружности
Аполлония


и


.
3.
Докажите,что
(a)
отрезок,соединяющийоснованиябиссектрисвнутреннегоивнешнегоугловпри
вершине
ܣ
,являетсядиаметромокружностиАполлония


;
(b)
центрокружностиАполлония


—точкапересечениякасательнойкописанной
окружностиввершине
ܣ
спрямой
ܤܥ
;
(c)
радикальнаяосьокружности


иописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ

этосимедианатреугольника
ܣܤܥ
,проведеннаяизвершины
ܣ
.
4.
(a)
Данаточка
ܲ
итреугольник
ܣܤܥ
.Докажите,чтостороныпедальноготреуголь-
ника,соответствующеготочке
ܲ
,вычисляютсяпоформулам
ܽ⋅ܲܣ/(2ܴ)
,
ܾ⋅ܲܤ/(2ܴ)
,
ܿ⋅ܲܥ/(2ܴ)
.Взадачеиспользованыстандартныеобозначениядлятреугольника
ܣܤܥ
.
(b)
Выведитеизпункта(
4a
)
теоремуПтолемея:
ܲܣ⋅ܤܥ+ܲܤ⋅ܥܣ⩾ܲܥ⋅ܣܤ,
причемравенстводостигаетсятольковслучае,когдаточка
ܲ
лежитнадуге
ܣܤ
опи-
саннойоколотреугольника
ܣܤܥ
окружности.
(c)
Докажите,чтоизодинамическийцентрпринадлежитвсемтремокружностямАпол-
лония.
5.
(a)
Докажите,чтотриокружностиАполлонияимеютобщуюрадикальнуюось,про-
ходящуючерезцентрописаннойокружности.
(b)
Докажите,чтоизодинамическихцентраунеравенобедренноготреугольникаров-
нодва.
(c)
Докажите,чтоизодинамическиецентрысимметричны(являютсяинверснымиоб-
разамидругдруга)относительноописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Докажите,чтоизодинамическиецентры,центрописаннойокружностииточкаЛему-
аналежатнаоднойпрямой
(осьБрокаратреугольника).
7.
(a)
Пусть
ܣ݌
—изодинамическийцентр,лежащийвнутриостроугольноготреуголь-
ника
ܣܤܥ
.Каковуголмеждуописаннойокружностьютреугольника
ܣܤܥ
иописанной
окружностьютреугольника
ܣ݌ܤܥ
?
(b)
Выразитеуглы
∠ܣܣ݌ܤ
,
∠ܤܣ݌ܥ
и
∠ܥܣ݌ܣ
черезуглытреугольника
ܣܤܥ
.
source:geometry/isodynamic-point-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Батоны
20июня2016г.,пара1
Изогональноесопряжение
Определение.
Дантреугольник
ܣܤܥ
.Дветочки
ܲ
и
ܳ
называются
изогональносопряженны-
ми
относительнотреугольника
ܣܤܥ
,еслипрямые
ܲܣ
и
ܳܣ
симметричныотносительнобис-
сектрисыугла
ܣ
,прямые
ܲܤ
и
ܳܤ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܤ
,апрямые
ܲܥ
и
ܳܥ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܥ
.
1.
(a)
Докажите,чтоточкапересечениявысотицентрописаннойокружноститреуголь-
никаизогональносопряжены.
(b)
Какиеточкиизогональносопряженысамимсебе?
(c)
Касательныекописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܤ
и
ܥ
пересе-
каютсявточке
ܲ
.Точка
ܳ
симметричнаточке
ܣ
относительносерединыотрезка
ܤܥ
.
Докажите,что
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.
(d)
Докажите,чтоизогональносопряженыточка,изкоторойсторонытреугольника
видныподуглом
120

(точкаТорричелли)
иточка,проекциикоторойнасторонытре-
угольникаобразуютравностороннийтреугольник
(изодинамическийцентртреуголь-
ника)
.
(e)
Докажите,чтоизогональносопряженыточкапересечениямедиантреугольника
иточка,длякоторойсуммаквадратоврасстоянийдоегосторонминимальна.
2.
(a)
Пустьточки
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.Пусть
ݔ
,
ݕ
и
ݖ
—расстоянияотточки
ܲ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,а
ݔ

,
ݕ

и
ݖ


расстоянияотточки
ܳ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно.Докажите,что
ݔ⋅ݔ

=
ݕ⋅ݕ

=ݖ⋅ݖ

.
(b)
Опустимизточки
ܲ
перпендикулярынасторонытреугольника(илиихпродол-
жения)ирассмотримокружность,проходящуючерезоснованияперпендикуляров.До-
кажите,чтоэтаокружностьсовпадаетсокружностью,построеннойтакимжеобразом
дляточки
ܳ
.
(c)
Выведитеизпункта(
2b
),чтооснованиявысоттреугольникаисерединыегосто-
ронлежатнаоднойокружности.
3.
(a)
Вокружностьвписаншестиугольник
ܣܤܥܦܧܨ
.Отрезок
ܣܥ
пересекаетсясотрез-
ком
ܤܨ
вточке
ܺ
,
ܤܧ
с
ܣܦ
—вточке
ܻ
и
ܥܧ
и
ܦܨ
вточке
ܼ
.Докажите,чтотреугольники
ܣܤܻ
и
ܧܦܻ
подобны,причемточкевтреугольнике
ܣܤܻ
,изогональносопряженнойточ-
ке
ܺ
,соответствуетточка
ܼ
втреугольнике
ܧܦܻ
.
(b)
Выведитеизпункта(
3a
),чтоточки
ܺ
,
ܻ
и
ܼ
лежатнаоднойпрямой.
4.
Докажите,чтоприизогональномсопряженииокружность,проходящаячерезверши-
ны
ܤ
и
ܥ
,отличнаяотописанной,переходитвокружность,проходящуючерез
ܤ
и
ܥ
.
5.
Втрапеции
ܣܤܥܦ
боковаясторона
ܥܦ
перпендикулярнаоснованиям,
ܱ
—точкапере-
сечениядиагоналей.Наописаннойокружноститреугольника
ܱܥܦ
взятаточка
ܵ
,диа-
метральнопротивоположнаяточке
ܱ
.Докажите,что
∠ܤܵܥ=∠ܣܵܦ
.
6.
Сторонытреугольника
ܣܤܥ
видныизточки
ܶ
подуглами
120

.Докажите,чтопрямые,
симметричныепрямым
ܣܶ
,
ܤܶ
и
ܥܶ
относительнопрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,
пересекаютсяводнойточке.
source:geometry/isogonal-conjugate-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Батоны
25июня2016г.,пара2
Разнобой-повторение
1.
Точка
ܺ
внетреугольника
ܣܤܥ
такова,что
ܣ
лежитвнутритреугольника
ܤܺܥ
.Приэтом
2∠ܺܤܣ=∠ܣܥܤ
,
2∠ܺܥܣ=∠ܣܤܥ
.Докажите,чтоцентрыописаннойивневписанной
состороны
ܤܥ
окружностейтреугольника
ܣܤܥ
иточка
ܺ
лежатнаоднойпрямой.
2.
Найдитевнутритреугольникаточкусминимальнойсуммойквадратоврасстояний
довершин.
3.
Наокружностиданыточки
ܣ
,
ܤ
,
ܥ
,
ܦ
такие,что
ܣܤ
—диаметркруга,а
ܥܦ
—нет.Дока-
жите,чтопрямая,соединяющаяточкупересечениякасательныхкокружностивточ-
ках
ܥ
и
ܦ
сточкойпересеченияпрямых
ܣܥ
и
ܤܦ
,перпендикулярнапрямой
ܣܤ
.
4.
Вписаннаявтреугольник
ܣܤܥ
окружностькасаетсясторон
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
соответственно.Черезточку
ܣ
1
проведенапрямая

,перпендикулярнаяотрез-
ку
ܣܣ
1
.Онапересекаетсяспрямой
ܤ
1
ܥ
1
вточке
ܺ
.Докажите,чтопрямая
ܤܥ
делитот-
резок
ܣܺ
пополам.
5.
Востроугольномтреугольнике
ܣܤܥ
точки
ܫ

и
ܫ

—центрывневписанныхокружно-
стей,
ܪ
—основаниевысотыизвершины
ܤ
.Прямая
ܫ

ܪ
пересекает
ܤܥ
вточке
ܣ

,апря-
мая
ܫ

ܪ
пересекает
ܣܤ
вточке
ܥ

.Докажите,что
ܣ

ܥ

проходитчерезцентрвписанной
окружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Окружностькасаетсясторонтреугольника
ܣܤ
и
ܤܥ
треугольника
ܣܤܥ
вточках
ܦ
и
ܧ
,
атакжевнутреннимобразомописаннойокружноститреугольника.Докажите,что
ܦܧ
проходитчерезцентрвписаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
7.
Всегмент,ограниченныйхордойидугой
ܣܤ
окружности,вписанаокружность

сцен-
тром
ܫ
.Обозначимсерединууказаннойдуги
ܣܤ
через
ܯ
,асерединудополнительной
дугичерез
ܰ
.Източки
ܰ
проведеныдвепрямые,касающиеся

вточках
ܥ
и
ܦ
.Проти-
воположныестороны
ܣܦ
и
ܤܥ
четырехугольника
ܣܤܥܦ
пересекаютсявточке
ܻ
,аего
диагоналипересекаютсявточке
ܺ
.Докажите,чтоточки
ܺ
,
ܻ
,
ܫ
и
ܯ
лежатнаоднойпря-
мой.
8.
Серединныйперпендикуляркдиагонали
ܣܥ
вписанногочетырехугольника
ܣܤܥܦ
пе-
ресекаетпрямые
ܣܦ
и
ܥܦ
вточках
ܲ
и
ܳ
.Докажите,чтобиссектрисыуглов
ܣܤܥ
и
ܲܤܳ
совпадают.
9.
Четырехугольник
ܣܤܥܦ
вписанвокружностьсцентром
ܱ
идиаметром
ܣܥ
.Касатель-
наявточке
ܥ
кокружностипересекаетпрямую
ܤܦ
вточке
ܲ
.Луч
ܣܤ
пересекаетотре-
зок
ܱܲ
вточке
ܧ
.Докажите,что
∠ܦܥܧ=90

.
source:geometry/mixture-g10/r2.tex
Глава3
10-1
21
[Московскиесборыпоматематике]
ЛеонидХндреевичПопов
[
14228июня2016
]группа:
Каравай
25июня2016г.,пара2
Разнобойпотеориичисел
1.
Найдитенаибольшийобщийделительчисел
ܣ

=2
3௡
+3
6௡+2
+5
6௡+2
,
где
݊=0,1,…,2016.
2.
Многочлен
݂(ݔ)
сцелымикоэффициентаминазывается
три-делимым
,если
3
делит
݂(݇)
длялюбогонатурального
݇
.Сформулируйтекритерийтри-делимостимногочле-
на.
3.
Пусть
݂(ݔ)=ݔ
௣−1

௣−2
+…+ݔ+1
,где
݌
—простоечисло.Натуральноечисло
݉
таково,
что
݌|݉
.Докажите,чтолюбойпростойделитель
݂(݉)
взаимнопростс
݉(݉−1)
.
4.
Докажите,чтодлялюбогопростого
݌
число
݌
௣+1
+(݌+1)

неявляетсяточнымквад-
ратом.
5.
Найдитевсетройкипростыхчисел
(݌,ݍ,ݎ)
такие,что
݌|ݍ

+1,ݍ|ݎ

+1,ݎ|݌

+1.
6.
Найдитевсенатуральныечисла
݉
и
݊
,длякоторых
݊

=(݊−1)!+1
.
7.
Докажите,чтонесуществуеттакихнатуральныхчисел
݌
и
݊
,что
݌
—простое,аурав-
нение
ݔ(ݔ+1)=݌
2௡
ݕ(ݕ+1)
неимеетрешенийвнатуральныхчислах.
source:algebra/number-theory/mixture-g10/r1.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЛеонидХндреевичПопов
[
14228июня2016
]группа:
Каравай
27июня2016г.,пара1
ДобавкапоТЧ
1.
Данынатуральныечисла
ܽ
и
ܾ
такие,чточисло
(ܽ+1)/ܾ+(ܾ+1)/ܽ
—натуральное.
Докажите,чтоНОД
(ܽ,ܾ)⩽

ܽ+ܾ
.
2.
Решитевнатуральныхчислахуравнение
ݔ
2

3
=2

+16
.
3.
Найдитевсепарынатуральныхчисел
(ݔ,݊)
такие,что
ݔ

+2

+1
делит
ݔ
௡+1
+2
௡+1
+1
.
source:algebra/number-theory/mixture-g10/r1-more.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Каравай
22июня2016г.,пара1
Изодинамическиецентры
Точка
ܣ݌
называется
изодинамическимцентромтреугольника,
еслиеепроекциинасторо-
ныявляютсявершинамиравностороннеготреугольника.
1.
(a)
Даностроугольныйтреугольник
ܣܤܥ
иегоизодинамическийцентр
ܣ݌
,лежащий
внутритреугольника.Прямые
ܣܣ݌
,
ܤܣ݌
и
ܥܣ݌
повторнопересекаютописаннуюокруж-
ностьтреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
.Докажите,чтотреугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
рав-
носторонний.
(b)
Сформулируйтеидокажитеобратноеутверждение.
2.
Данычисла
݇
1
,
݇
2
,…,
݇

,
ܿ
иточкинаплоскости
ܣ
1
,
ܣ
2
,…,
ܣ

.Докажите,чтомножество
точек
ܺ
,обладающихтемсвойством,что
݇
1
ܣ
1
ܺ
2
+…+݇

ܣ

ܺ
2
=ܿ
(a)
при
݇
1
+…+݇

≠0
являетсяокружностью,точкойилипустыммножеством;
(b)
при
݇
1
+…+݇

=0
являетсяпрямой,плоскостьюилипустыммножеством.
ОкружностьАполлония


неравнобедренноготреугольника
ܣܤܥ
—этогеометрическое
местоточек
ܯ
,длякоторых
ܯܤ∶ܯܥ=ܣܤ∶ܣܥ
.Аналогичноопределяютсяокружности
Аполлония


и


.
3.
Докажите,что
(a)
отрезок,соединяющийоснованиябиссектрисвнутреннегоивнешнегоугловпри
вершине
ܣ
,являетсядиаметромокружностиАполлония


;
(b)
центрокружностиАполлония


—точкапересечениякасательнойкописанной
окружностиввершине
ܣ
спрямой
ܤܥ
;
(c)
радикальнаяосьокружности


иописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ

этосимедианатреугольника
ܣܤܥ
,проведеннаяизвершины
ܣ
.
4.
(a)
Данаточка
ܲ
итреугольник
ܣܤܥ
.Докажите,чтостороныпедальноготреуголь-
ника,соответствующеготочке
ܲ
,вычисляютсяпоформулам
ܽ⋅ܲܣ/(2ܴ)
,
ܾ⋅ܲܤ/(2ܴ)
,
ܿ⋅ܲܥ/(2ܴ)
.Взадачеиспользованыстандартныеобозначениядлятреугольника
ܣܤܥ
.
(b)
Выведитеизпункта(
4a
)
теоремуПтолемея:
ܲܣ⋅ܤܥ+ܲܤ⋅ܥܣ⩾ܲܥ⋅ܣܤ,
причемравенстводостигаетсятольковслучае,когдаточка
ܲ
лежитнадуге
ܣܤ
опи-
саннойоколотреугольника
ܣܤܥ
окружности.
(c)
Докажите,чтоизодинамическийцентрпринадлежитвсемтремокружностямАпол-
лония.
5.
(a)
Докажите,чтотриокружностиАполлонияимеютобщуюрадикальнуюось,про-
ходящуючерезцентрописаннойокружности.
(b)
Докажите,чтоизодинамическихцентраунеравенобедренноготреугольникаров-
нодва.
(c)
Докажите,чтоизодинамическиецентрысимметричны(являютсяинверснымиоб-
разамидругдруга)относительноописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Докажите,чтоизодинамическиецентры,центрописаннойокружностииточкаЛему-
аналежатнаоднойпрямой
(осьБрокаратреугольника).
7.
(a)
Пусть
ܣ݌
—изодинамическийцентр,лежащийвнутриостроугольноготреуголь-
ника
ܣܤܥ
.Каковуголмеждуописаннойокружностьютреугольника
ܣܤܥ
иописанной
окружностьютреугольника
ܣ݌ܤܥ
?
(b)
Выразитеуглы
∠ܣܣ݌ܤ
,
∠ܤܣ݌ܥ
и
∠ܥܣ݌ܣ
черезуглытреугольника
ܣܤܥ
.
source:geometry/isodynamic-point-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Каравай
20июня2016г.,пара2
Изогональноесопряжение
Определение.
Дантреугольник
ܣܤܥ
.Дветочки
ܲ
и
ܳ
называются
изогональносопряженны-
ми
относительнотреугольника
ܣܤܥ
,еслипрямые
ܲܣ
и
ܳܣ
симметричныотносительнобис-
сектрисыугла
ܣ
,прямые
ܲܤ
и
ܳܤ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܤ
,апрямые
ܲܥ
и
ܳܥ
симметричныотносительнобиссектрисыугла
ܥ
.
1.
(a)
Докажите,чтоточкапересечениявысотицентрописаннойокружноститреуголь-
никаизогональносопряжены.
(b)
Какиеточкиизогональносопряженысамимсебе?
(c)
Касательныекописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
вточках
ܤ
и
ܥ
пересе-
каютсявточке
ܲ
.Точка
ܳ
симметричнаточке
ܣ
относительносерединыотрезка
ܤܥ
.
Докажите,что
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.
(d)
Докажите,чтоизогональносопряженыточка,изкоторойсторонытреугольника
видныподуглом
120

(точкаТорричелли)
иточка,проекциикоторойнасторонытре-
угольникаобразуютравностороннийтреугольник
(изодинамическийцентртреуголь-
ника)
.
(e)
Докажите,чтоизогональносопряженыточкапересечениямедиантреугольника
иточка,длякоторойсуммаквадратоврасстоянийдоегосторонминимальна.
2.
(a)
Пустьточки
ܲ
и
ܳ
изогональносопряженыотносительнотреугольника
ܣܤܥ
.Пусть
ݔ
,
ݕ
и
ݖ
—расстоянияотточки
ܲ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,а
ݔ

,
ݕ

и
ݖ


расстоянияотточки
ܳ
допрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно.Докажите,что
ݔ⋅ݔ

=
ݕ⋅ݕ

=ݖ⋅ݖ

.
(b)
Опустимизточки
ܲ
перпендикулярынасторонытреугольника(илиихпродол-
жения)ирассмотримокружность,проходящуючерезоснованияперпендикуляров.До-
кажите,чтоэтаокружностьсовпадаетсокружностью,построеннойтакимжеобразом
дляточки
ܳ
.
(c)
Выведитеизпункта(
2b
),чтооснованиявысоттреугольникаисерединыегосто-
ронлежатнаоднойокружности.
3.
(a)
Вокружностьвписаншестиугольник
ܣܤܥܦܧܨ
.Отрезок
ܣܥ
пересекаетсясотрез-
ком
ܤܨ
вточке
ܺ
,
ܤܧ
с
ܣܦ
—вточке
ܻ
и
ܥܧ
и
ܦܨ
вточке
ܼ
.Докажите,чтотреугольники
ܣܤܻ
и
ܧܦܻ
подобны,причемточкевтреугольнике
ܣܤܻ
,изогональносопряженнойточ-
ке
ܺ
,соответствуетточка
ܼ
втреугольнике
ܧܦܻ
.
(b)
Выведитеизпункта(
3a
),чтоточки
ܺ
,
ܻ
и
ܼ
лежатнаоднойпрямой.
4.
Докажите,чтоприизогональномсопряженииокружность,проходящаячерезверши-
ны
ܤ
и
ܥ
,отличнаяотописанной,переходитвокружность,проходящуючерез
ܤ
и
ܥ
.
5.
Втрапеции
ܣܤܥܦ
боковаясторона
ܥܦ
перпендикулярнаоснованиям,
ܱ
—точкапере-
сечениядиагоналей.Наописаннойокружноститреугольника
ܱܥܦ
взятаточка
ܵ
,диа-
метральнопротивоположнаяточке
ܱ
.Докажите,что
∠ܤܵܥ=∠ܣܵܦ
.
6.
Сторонытреугольника
ܣܤܥ
видныизточки
ܶ
подуглами
120

.Докажите,чтопрямые,
симметричныепрямым
ܣܶ
,
ܤܶ
и
ܥܶ
относительнопрямых
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
соответственно,
пересекаютсяводнойточке.
source:geometry/isogonal-conjugate-g10.tex
[Московскиесборыпоматематике]
дёдорЛьвовичБахарев
[
14228июня2016
]группа:
Каравай
26июня2016г.,пара1
Разнобой-повторение
1.
Точка
ܺ
внетреугольника
ܣܤܥ
такова,что
ܣ
лежитвнутритреугольника
ܤܺܥ
.Приэтом
2∠ܺܤܣ=∠ܣܥܤ
,
2∠ܺܥܣ=∠ܣܤܥ
.Докажите,чтоцентрыописаннойивневписанной
состороны
ܤܥ
окружностейтреугольника
ܣܤܥ
иточка
ܺ
лежатнаоднойпрямой.
2.
Найдитевнутритреугольникаточкусминимальнойсуммойквадратоврасстояний
довершин.
3.
Вписаннаяокружностьтреугольника
ܣܤܥ
касаетсясторон
ܣܤ
и
ܣܥ
вточках
ܥ
1
и
ܣ
1
соответственно.Медиана
ܣܯ
пересекает
ܤ
1
ܥ
1
вточке
ܨ
.Докажите,что
ܨܫ⊥ܤܥ
,где
ܫ

центрвписаннойокружности.
4.
Вписаннаявтреугольник
ܣܤܥ
окружностькасаетсясторон
ܤܥ
,
ܥܣ
и
ܣܤ
вточках
ܣ
1
,
ܤ
1
и
ܥ
1
соответственно.Черезточку
ܣ
1
проведенапрямая

,перпендикулярнаяотрез-
ку
ܣܣ
1
.Онапересекаетсяспрямой
ܤ
1
ܥ
1
вточке
ܺ
.Докажите,чтопрямая
ܤܥ
делитот-
резок
ܣܺ
пополам.
5.
Востроугольномтреугольнике
ܣܤܥ
точки
ܫ

и
ܫ

—центрывневписанныхокружно-
стей,
ܪ
—основаниевысотыизвершины
ܤ
.Прямая
ܫ

ܪ
пересекает
ܤܥ
вточке
ܣ

,апря-
мая
ܫ

ܪ
пересекает
ܣܤ
вточке
ܥ

.Докажите,что
ܣ

ܥ

проходитчерезцентрвписанной
окружноститреугольника
ܣܤܥ
.
6.
Всегмент,ограниченныйхордойидугой
ܣܤ
окружности,вписанаокружность

сцен-
тром
ܫ
.Обозначимсерединууказаннойдуги
ܣܤ
через
ܯ
,асерединудополнительной
дугичерез
ܰ
.Източки
ܰ
проведеныдвепрямые,касающиеся

вточках
ܥ
и
ܦ
.Проти-
воположныестороны
ܣܦ
и
ܤܥ
четырехугольника
ܣܤܥܦ
пересекаютсявточке
ܻ
,аего
диагоналипересекаютсявточке
ܺ
.Докажите,чтоточки
ܺ
,
ܻ
,
ܫ
и
ܯ
лежатнаоднойпря-
мой.
7.
Серединныйперпендикуляркдиагонали
ܣܥ
вписанногочетырехугольника
ܣܤܥܦ
пе-
ресекаетпрямые
ܣܦ
и
ܥܦ
вточках
ܲ
и
ܳ
.Докажите,чтобиссектрисыуглов
ܣܤܥ
и
ܲܤܳ
совпадают.
8.
Четырехугольник
ܣܤܥܦ
вписанвокружностьсцентром
ܱ
идиаметром
ܣܥ
.Касатель-
наявточке
ܥ
кокружностипересекаетпрямую
ܤܦ
вточке
ܲ
.Луч
ܣܤ
пересекаетотре-
зок
ܱܲ
вточке
ܧ
.Докажите,что
∠ܦܥܧ=90

.
9.
Окружности

1
и

2
касаютсядругдругавнешнимобразомвточке
ܲ
.Източки
ܣ
окруж-
ности

2
,нележащейналиниицентровокружностей,проведеныкасательные
ܣܤ
,
ܣܥ
к

1
.Прямые
ܤܲ
,
ܥܲ
вторичнопересекают

2
вточках
ܧ
и
ܨ
.Докажите,чтопрямая
ܧܨ
,
касательнаяк

2
вточке
ܣ
иобщаякасательнаякокружностямвточке
ܲ
пересекаются
воднойточке.
10.
Четырехугольник
ܣܤܥܦ
вписанвокружность

.Окружность

1
касаетсяпрямых
ܣܤ
и
ܥܦ
вточках
ܺ
и
ܻ
ипересекаетсядугу
ܣܦ
окружности

вточках
ܭ
и
ܮ
.Прямая
ܻܺ
пересекает
ܣܥ
и
ܤܦ
вточках
ܼ
и
ܶ
.Докажите,что
ܭ
,
ܮ
,
ܼ
и
ܶ
лежатнаоднойокружности,
касающейсяпрямых
ܣܥ
и
ܤܦ
.
source:geometry/mixture-g10/r1.tex
Глава4
11-2
31
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
26июня2016г.,пара2
НеравенствоЙенсена
1.
Докажите,чтодляугловтреугольника
sin(ߙ)+sin(ߚ)+sin(ߛ)⩽3

3/2
.
2.
ВыведитеизнеравенстваИтенсенанеравенствоКоши.
3.
ВыведитеизнеравенствоИтенсенанеравенствомеждусреднимгармоническимисред-
нимарифметическим.
4.
ВыведитеизнеравенстваИтенсенанеравенствоГёльдера,т.е.при
݇>1
инеотрица-
тельных
ݔ

(


௜=1
ݍ

ݔ

)




௜=1
ݍ

ݔ



1
,…,ݍ

>0,ݍ
1

2
+…+ݍ

=1.
5.
Докажите,чтодляугловтреугольника
cos(ߙ)⋅cos(ߚ)⋅cos(ߛ)⩽1/8
.
6.
Пусть
ݔ,ݕ,ݖ∈(0;�/2)
.Докажите,что
ݔcos(ݔ)+ݕcos(ݕ)+ݖcos(ݖ)
ݔ+ݕ+ݖ

cos(ݔ)+cos(ݕ)+cos(ݖ)
3
.
7.
Докажите,что
(1+1/ܽ
1
)⋅(1+1/ܽ
2
)⋅…⋅(1+1/ܽ

)⩾(݊+1)

,еслисуммаположительных
чисел
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

равна
1
.
8.
Пусть
ܽ,ܾ,ܿ>0
,
ܾܽܿ⩾1
.Докажите,что
(
ܽ+
1
ܽ+1
)(
ܾ+
1
ܾ+1
)(
ܿ+
1
ܿ+1
)

27
8
.
9.
Пусть
ܫ
—центрвписаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.Докажите,что
ܫܣ
2
+ܫܤ
2
+ܫܥ
2

ܤܥ
2
+ܥܣ
2
+ܣܤ
2
3
.
source:algebra/inequality/jensen-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
20июня2016г.,пара2
Всякиеразныенеравенства
1.
Дляположительныхчисел
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

и
ܾ
1
,
ܾ
2
,…,
ܾ

докажитенеравенство
ܽ
2
1
ܾ
1
+
ܽ
2
2
ܾ
2
+…+
ܽ
2

ܾ



1

2
+…+ܽ

)
2
ܾ
1

2
+…+ܾ

.
2.
Пусть
ܽ,ܾ,ܿ>0
.Докажитенеравенство
ܽ
ܾ+2ܿ
+
ܾ
ܿ+2ܽ
+
ܿ
ܽ+2ܾ
⩾1
.
3.
НеравенствоЧебышёва.
Докажите,чтодлянеотрицательныхчисел
ܽ
1
⩾ܽ
2
⩾…⩾ܽ

,
ܾ
1
⩾ܾ
2
⩾…⩾ܾ

справедливонеравенство

1

2
+…+ܽ

)⋅(ܾ
1

2
+…+ܾ

)⩽݊⋅(ܽ
1
ܾ
1

2
ܾ
2
+…+ܽ

ܾ

)
.
4.
Докажите,чтодляположительныхчисел
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
,
݀
выполненонеравенство
ܽ+ܾ+ܿ+݀
ܾܽܿ݀

1
ܽ
3
+
1
ܾ
3
+
1
ܿ
3
+
1
݀
3
.
5.
Докажитедляположительных
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
неравенство
ܾܽܿ⩾(ܾ+ܿ−ܽ)⋅(ܿ+ܽ−ܾ)⋅(ܽ+ܾ−ܿ)
.
6.
Суммаположительных
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
,
݀
равна
4
.Докажите,что
ܽ
ܾ
2
+1
+
ܾ
ܿ
2
+1
+
ܿ
݀
2
+1
+
݀
ܽ
2
+1
⩾2
.
7.
Известно,что
ܽ,ܾ,ܿ>0
,
ܾܽ+ܾܿ+ܿܽ=3
.Докажите,что
ܾܽ
1+ܿ
2
+
ܾܿ
1+ܽ
2
+
ܿܽ
1+ܾ
2

3
2
.
8.
Дляположительныхчисел
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

таких,что
ܽ
1

2
+…+ܽ

=1
,докажите
неравенство
(
ܽ
1
+
1
ܽ
1
)
2
+
(
ܽ
2
+
1
ܽ
2
)
2
+…+
(
ܽ

+
1
ܽ

)
2


2
+1)
2
݊
.
9.
Пусть
ܽ,ܾ,ܿ>0
.Докажитенеравенство
ܽ
3
ܽ
2
+ܾܽ+ܾ
2
+
ܾ
3
ܾ
2
+ܾܿ+ܿ
2
+
ܿ
3
ܿ
2
+ܿܽ+ܿ
2

ܽ+ܾ+ܿ
3
.
10.
Суммаположительныхчисел
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
,
݀
равна
4
.Докажите,что
ܽ
ܽ
3
+4
+
ܾ
ܾ
3
+4
+
ܿ
ܿ
3
+4
+
݀
݀
3
+4

4
5
.
source:algebra/inequality/mixture-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
15июня2016г.,пара1
ТеоремаБезу.Вокругдаоколо
1.
Найдитеостаткиотделениямногочлена
ݔ
81

27

9

3
+1
на
(a)
(ݔ−1)
;
(b)

2
−1)
;
(c)

2
+1)
;
(d)
(ݔ−1)
2
.
2.
Многочлен
ܲ(ݔ)
приделениина
(ݔ−1)
даетостаток
2
,априделениина
(ݔ−2)
дает
остаток
1
.Какойостатокдает
ܲ(ݔ)
приделениина
(ݔ−1)(ݔ−2)
?
3.
Многочлен
ܲ(ݔ)
приделениина

2
−4)
даетостаток
ݔ+1
,ана
ݔ
2
−1
—остаток
ݔ+2
.
Найдитеостатокприделении
ܲ(ݔ)
на

2
−4)(ݔ
2
−1)
.
4.
Докажите,чтоеслизначениядвухмногочленов,степеникоторыхнепревосходят
݊
,
совпадаютв
݊+1
различныхточках,тоэтимногочленыравны.
5.
Данмногочлен
ܲ(ݔ)
такой,чтомногочлен
ܲ(ݔ

)
делитсяна
(ݔ−1)
.Докажите,чтомно-
гочлен
ܲ(ݔ)
такжеделитсяна
(ݔ−1)
.
6.
Известно,чтомногочлен
ݔ

+ݔ+1
делитсяна
ݔ
2
+ݔ+1
.ИспользуяформулуМуавра,
докажите,что
݊
естьчисловида
3݇+2
.
7.
Многочлен
ܲ(ݔ
3
)
делитсянамногочлен
ݔ
2
+ݔ+1
.Используякомплексныечисла,до-
кажите,чтомногочлен
ܲ(ݔ)
делитсянамногочлен
(ݔ−1)
.
8.
Прикаких
݊
многочлен
1+ݔ
2

4
+…+ݔ
2௡−2
делитсяна
1+ݔ+ݔ
2
+…+ݔ
௡−1
?
source:algebra/polynomial/bezouts-theorem-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
21июня2016г.,пара1
Производные
1.
Докажите,чтоуравнение

3
−3ܾݔ
2
+2ܿݔ−݀=0
имеет3действительныхкорнятогда
итолькотогда,когдасуществуетдействительныечисла
݉
,
݊
,
݌
,
ݍ
такие,что
{
ܾ=݉+݊+݌+ݍ,
ܿ=݉݊+݉݌+݉ݍ+݊݌+݊ݍ+݌ݍ,
݀=݉݊݌+݉݊ݍ+݉݌ݍ+݊݌ݍ.
2.
Многочленчетвертойстепени
ܲ(ݔ)
имеетчетырекорня,попарныерасстояниямежду
которыминеменьше
1
.Докажите,чтонайдутсядвакорня
ܲ

(ݔ)
,находящиесянарас-
стояниинеменьше
1
.
3.
Найдитевседействительные
ܽ
и
ܾ
такие,чтоуравнение
ݔ
3
+ܽݔ
2
+ܾݔ+ܿ=0
имеет
неболеедвухположительныхкорнейпривсехзначениях
ܿ
.
4.
Сколькосуществуетмногочленоввида
ݔ
3
+ܽݔ
2
+ܾݔ+ܿ
таких,чтомножествоихкорней
есть
{ܽ,ܾ,ܿ}
?
5.
Докажите,чтоприцелыхзначениях
ܿ
уравнение
ݔ⋅(ݔ
2
−1)⋅(ݔ
2
−10)=ܿ
неможет
иметьпятицелыхкорней.
6.
Докажите,чтоесливсекорнимногочленасдействительнымикоэффициентами
ܲ(ݔ)=
ܽ

ݔ

+…+ܽ
0
действительны,тоивсеегопроизводныеимеютлишьдействительные
корни.
7.
Пусть
ܲ(ݔ)
—многочленстепени
݊
и
ܲ(ܽ)⩾0
,
ܲ

(ܽ)⩾0
,…,
ܲ
(௡−1)
(ܽ)⩾0
,
ܲ
(௡)
(ܽ)>0
.
Докажите,чтодействительныекорниуравнения
ܲ(ݔ)=0
непревосходят
ܽ
.
8.
Докажите,чтомногочлен
ܲ(ݔ)=1+ݔ+ݔ
2
/2!+…+ݔ

/݊!
неимееткратныхкорней.
9.
Пусть
ܿ
0
+ܿ
1
/2+…+ܿ

/(݊+1)=0
.Докажите,чтомногочлен
ܿ
0
+ܿ
1
ݔ+ܿ
2
ݔ
2
+…+ܿ

ݔ

имеетхотябыодиндействительныйкорень.
source:algebra/polynomial/derivative-g11.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
17июня2016г.,пара1
Многочленысцелымикоэффициентами
1.
Пусть
݂(ݔ)
—многочленсцелымикоэффициентами.Известно,что
݂(−1)=݂(0)=
݂(1)=0
.Докажите,что
݂(݊)
кратнотремдлялюбогоцелого
݊
.
2.
Многочлен
ܲ(ݔ)
таков,что
ܲ(7)=11

ܲ(11)=13
.Докажите,чтохотябыодинизего
коэффициентов—нецелоечисло.
3.
Пусть
݂(ݔ)
—многочленсцелымикоэффиентами.Докажите,что
݂(ܽ)−݂(ܾ)
делится
на
(ܽ−ܾ)
,где
ܽ
,
ܾ
—различныецелыечисла.
4.
Всекоэффициентымногочлена
ܲ(ݔ)
—целыечисла.Известно,что
ܲ(1)=1
ичто
ܲ(݊)=0
принекоторомнатуральном
݊
.Найдите
݊
.
5.
Данмногочленсцелымикоэффициентами.Есливнеговместонеизвестногоподста-
вить
2
или
3
,тополучаютсячисла,кратные
6
.Докажите,чтоесливместонеизвестного
внегоподставить
5
,тотакжеполучитсячисло,кратное
6
.
6.
ܲ(ݔ)
—многочленсцелымикоэффициентами.Докажите,чтоеслиуравнение
ܲ(ݔ)=1
имеетбольшетрехцелочисленныхкорней,тоуравнение
ܲ(ݔ)=−1
неимеетцелочис-
ленныхкорней.
7.
Многочлен
݂(ݔ)
сцелымикоэффициентамипринимаетзначение
5
припятиразлич-
ныхцелыхзначениях
ݔ
.Можетли
݂(ݔ)
иметьцелыекорни?Можетли
݂(݊)
равняться
−6
прицелом
݊
?
8.
Многочленседьмойстепенисцелымикоэффициентамивсемицелыхточкахприни-
маетзначения
±1
.Докажите,чтоэтотмногочленнельзяразложитьвпроизведение
двухмногочленовсцелымикоэффициентами.
9.
Многочлены
ܲ(ݔ)
и
ܳ(ݔ)
сцелымикоэффициентамитаковы,что
ܲ(݇)
делитсяна
ܳ(݇)
прилюбомцелом
݇
.Докажите,что
ܲ(ݔ)
делитсяна
ܳ(ݔ)
.
10.
Пусть
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

—различныецелыечисла.Докажите,чтомногочлен
(ݔ−ܽ
1
)(ݔ−
ܽ
2
)…(ݔ−ܽ

)−1
нельзяразложитьвпроизведениедвухмногочленовненулевойсте-
пенисцелымикоэффициентами.
source:algebra/polynomial/integer-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
16июня2016г.,пара1
Симметрическиемногочленыисистемы
1.
Определитевсезначенияпараметра
ܽ
,прикаждомизкоторыхтриразличныхкорня
уравнения
ݔ
3
+(ܽ
2
−9ܽ)ݔ
2
+8ܽݔ−64=0
образуютгеометрическуюпрогрессию.
Найдитеэтикорни.
2.
Прикакихзначениях
ܽ
четырекорняуравнения
ݔ
4
+(ܽ−5)ݔ
2
+(ܽ+2)
2
=0
являются
последовательнымичленамиарифметическойпрогрессии?
3.
Пустьизвестно,чтовсекорнинекоторогоуравнения
ݔ
3
+݌ݔ
2
+ݍݔ+ݎ=0
положитель-
ны.Какомудополнительномуусловиюдолжныудовлетворятьегокоэффициенты
݌
,
ݍ
и
ݎ
длятого,чтобыизотрезков,длиныкоторыхравныэтимкорням,можнобылосо-
ставитьтреугольник?
4.
(a)
Пусть
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
—сторонытреугольника,
݌
—егополупериметр,а
ݎ
и
ܴ
—радиусы
вписаннойиописаннойокружностейсоответственно.Составьтеуравнениескоэффи-
циентами,зависящимиот
݌
,
ݎ
,
ܴ
,корнямикоторогоявляютсячисла
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
.
(b)
Докажитеравенство
1/(ܾܽ)+1/(ܽܿ)+1/(ܾܿ)=1/(2ݎܴ)
.
5.
Длинысторонтреугольникаявляютсякорнямикубическогоуравнениясрациональ-
нымикоэффициентами.Докажите,чтодлинывысоттреугольникаявляютсякорнями
уравненияшестойстепенисрациональнымикоэффициентами.
6.
Числа
ݔ
,
ݕ
,
ݖ
удовлетворяютсистеме
{
ݔ+ݕ+ݖ=ܽ,
1/ݔ+1/ݕ+1/ݖ=1/ܽ.
Докажите,чтохотябыодноизэтихчиселравно
ܽ
.
7.
Пусть
ܽ
,
ܾ
,
ܿ
—триразличныхчисла.Решитесистему
{
ݖ+ܽݕ+ܽ
2
ݔ+ܽ
3
=0,
ݖ+ܾݕ+ܾ
2
ݔ+ܾ
3
=0,
ݖ+ܿݕ+ܿ
2
ݔ+ܿ
3
=0.
8.
Выражение
ݔ
2009

2009
выразиличерез

1
=ݔ+ݕ
,

2
=ݔݕ
,получилимногочлен
݃(�
1
,�
2
)
.Найдитесуммукоэффициентовэтогомногочлена.
9.
Назовеммногочлен
средиземноморским
,еслионимееттолькодействительныекорни
иимеетвид
ܲ(ݔ)=ݔ
10
−20ݔ
9
+135ݔ
8
+

7
ݔ
7

6
ݔ
6

5
ݔ
5

4
ݔ
4

3
ݔ
3

2
ݔ
2

1
ݔ+ܽ
0
.
Коэффициенты
ܽ
0
,…,
ܽ
7
—действительныечисла.Найдитенаибольшеедействитель-
ноечисло,котороеможетбытькорнемсредиземноморскогомногочлена.
source:algebra/polynomial/symmetric-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
Теоретическийминимум
ТеоремаБезу.
Остатокприделениимногочлена
ܲ(ݔ)
на
(ݔ−ܽ)
равен
ܲ(ܽ)
.
ТеоремаЭйзенштейна.
Рассмотриммногочленсцелымикоэффициентами
ܲ(ݔ)=ܽ

ݔ

+
ܽ
௡−1
ݔ
௡−1
+…+ܽ
2
ݔ
2

1
ݔ+ܽ
0
.Пусть
ܽ

неделитсянапростое
݌
;пусть
ܽ
0
,…,
ܽ
௡−1
делится
на
݌
;пусть
ܽ
0
неделитсяна
݌
2
.Тогдамногочлен
ܲ(ݔ)
неприводим,т.е.егонельзяразложить
впроизведениедвухмногочленовненулевойстепенисцелымикоэффициентами.
ТеоремаВильсона.
Число
݌
простоетогдаитолькотогда,когда
(݌−1)!+1
делитсяна
݌
.
МалаятеоремаФерма.
Пусть
݌
—простое,
(ܽ,݌)=1
.Тогда
ܽ
௣−1
≡1(mod݌)
.
ТеоремаЭйлера.
Пусть
(ܽ,݉)=1
.Тогда
ܽ
φ(௠)
≡1(mod݉)
.
Дляпростого
݌
инатурального
݊
обозначимза
ord

(݊)
степень,вкоторойчисло
݌
входит
вразложениечисла
݊
напростыемножители.
Леммаобуточнениипоказателя.
Пусть
ܽ
,
ܾ
—различныецелыечисла,
݇
—натуральное,
݌
—нечетноепростое,являющеесяделителем
(ܽ−ܾ)
инеявляющеесяделителем
ܽ
.Тогда
ord



−ܾ

)=ord

(ܽ−ܾ)+ord

(݇).
Если
݌=2
,то,кромеужеописанныхусловий,должнобытьвыполненоусловие,что
(ݔ−ݕ)
делитсяна
4
.
НеравенствоКоши.
Длявсехнеотрицательныхчисел
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

имеетместонеравенство
ܽ
1

2
+…+ܽ

݊



ܽ
1
⋅ܽ
2
⋅…⋅ܽ

.
НеравенствоКоши–Буняковского.
Длядействительныхчисел
ݔ
1
,
ݔ
2
,…,
ݔ

,
ݕ
1
,
ݕ
2
,…,
ݕ

имеет
местонеравенство

2
1

2
2
+…+ݔ
2

)⋅(ݕ
2
1

2
2
+…+ݕ
2

)⩾(ݔ
1
ݕ
1

2
ݕ
2
+…+ݔ

ݕ

)
2
.
НеравенствоШура.
Пусть
ݔ
,
ݕ
,
ݖ
—неотрицательныедействительныечисла.Тогдадлялю-
бого
ݎ
вернонеравенство
ݔ

(ݔ−ݕ)(ݔ−ݖ)+ݕ

(ݕ−ݔ)(ݕ−ݖ)+ݖ

(ݖ−ݔ)(ݖ−ݕ)⩾0.
Транснеравенство.
Пусть
ܽ
1
⩽ܽ
2
⩽…⩽ܽ

и
ܾ
1
⩽ܾ
2
⩽…⩽ܾ

.Тогдаимеетместо
неравенство
ܽ
1
ܾ


2
ܾ
௡−1
+…+ܽ

ܾ
1
⩽ܽ
1
ܿ
1

2
ܿ
2
+…+ܽ

ܿ

⩽ܽ
1
ܾ
1

2
ܾ
2
+…+ܽ

ܾ

,
если
1
,
ܿ
2
,…,
ܿ

—произвольнаяперестановкачисел
ܾ
1
,
ܾ
2
,…,
ܾ

.
НеравенствоЙенсена.
Пусть
݂(ݔ)
—непрерывнодифференцируемаявыпуклаяфункциянаот-
резке
[ܽ;ܾ]
,
ݔ
1
,
ݔ
2
,…,
ݔ

∈[ܽ;ܾ]
.Тогда
݂(ݔ
1
)+݂(ݔ
2
)+…+݂(ݔ

)
݊
⩾݂
(
ݔ
1

2
+…+ݔ

݊
)
.
ФормулаМуавра.
Пусть
ݖ=ݎ⋅
(
cos(�)+isin(�)
)
;
݊
—натуральное.Тогда
ݖ




(
cos(݊�)+isin(݊�)
)
.
source:algebra/theory-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
16июня2016г.,пара2
ЧислаКаталана
Последовательность
{ܿ

}
,заданнаярекуррентнымсоотношением
ܿ
0
=ܿ
1
=1,ܿ
௡+1
=ܿ
0
ܿ

+ܿ
1
ܿ
௡−1
+…+ܿ

ܿ
0
,
называетсяпоследовательностью
чиселКаталана
.Вотпервыечленыэтойпоследователь-
ности:
1
,
1
,
2
,
5
,
14
,…
Вследующихзадачахзадачахнужнодоказать(поиндукцииили,чтолучше,построивком-
бинаторнуюбиекциюсчем-нибудьужеизвестным),что
ܿ

—эточисло
1.
Триангуляций
выпуклого
(݊+2)
-угольника:разрезанийна
݊
треугольниковнепересе-
кающимисядиагоналями.
2.
Неассоциативныхпроизведений
݊+1
букв:способоврасставитьскобкитак,чтобыпо-
рядокумноженийбылоднозначноопределен.Например,для
݊=3
:
ܽ(ܾ(ܿ݀))(ܾܽ)(ܿ݀)((ܾܽ)ܿ)݀ܽ((ܾܿ)݀)(ܽ(ܾܿ))݀
3.
Путей
източки
(0,0)
вточку
(݊,݊)
полиниямклетчатойбумаги,идущихвверхивпра-
во,неподнимающихсявышепрямой
ݕ=ݔ
.
4.
Последовательностей
длины

,вкоторых
݊
развстречается
1
,
݊
развстречается
−1
,
ивсечастичныесуммыпоследовательностинеотрицательны.
5.
Способовсоединить

точекнаокружности
݊
непересекающимисяхордами(излюбой
точкивыходитоднахорда).
6.
Плоскихкорневыхдвоичныхдеревьев
с
݊
вершинами:укаждойвершинынеболеедвух
сыновей(правыйилевый)иодинпредок(кромекорня,укоторогонетпредков).
7.
Параллеломино
периметра
2݊+2
:парпутейнаклетчатойбумагесначалом
(0,0)
икон-
цомводнойитойжеточке,идущихтольковверхивправоинеимеющихобщихточек,
кроменачалаиконца.
8.
Путей
източки
(0,0)
вточку
(݊−1,݊−1)
,идущихвправо,вверхилиподиагонали
вправовверх,неподнимающихсявышепрямой
ݕ=ݔ
итаких,чтоидтиподиагонали
можнотольковдольпрямой
ݕ=ݔ
.
9.
Перестановокчисел
1
,
2
,…,
݊
,укоторыхдлинакаждойубывающейподпоследователь-
ностинеболее
2
.Например,для
݊=3
:
123213132312231
10.
Способовразбить
всенатуральныечислаот
1
до
݊
нанескольконезацепленныхгрупп
(нельзяпри
ܽ<ܾ<ܿ<݀
отнести
ܽ
и
ܿ
коднойгруппе,а
ܾ
и
݀
—кдругой).Например,
для
݊=3
:
12312,313,21,231,2,3
11.
Докажитеявнуюформулудлячиселэтойпоследовательности:
ܿ

=
(2݊)!
݊!(݊+1)!
.
source:combinatorics/catalan-numbers-g11/r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
20июня2016г.,пара1
Diamondlemma
1.
Вдеревебесконечноечисловершин,астепенькаждойвершиныконечная.Докажите,
чтоможновыбратьпростойпуть,состоящийизбесконечногомножествавершин.
2.
Diamondlemma.
Данориентированныйграфс
(a)
конечным;
(b)
бесконечным
множествомвершин.Будемназыватьвершину
ݒ
потомком
вершины
ݑ
,еслисуществу-
етпутьиз
ݑ
в
ݒ
;еслиестьреброиз
ݑ
в
ݒ
,то
ݒ

ребёнок
ݑ
.Известно,чтовсепутивграфе
конечны(вчастности,нетциклов)ичтовыполненоследующееусловие:длялюбых
двухдетейлюбойвершиныуэтихдетейсуществуетобщийпотомок.Докажите,что
улюбойвершиныестьлишьодинпотомокисходящейстепени
0
.
Вдальнейшихзадачахэтойлеммойможнопользоватьсябездоказательства.
3.
Надоскевыписаныположительныечисла
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

.Заходразрешаетсявзятьлюбые
двачисла
ݔ
и
ݕ
изаменитьихзначениемвыражения
ݔݕ+ݔ+ݕ
.Докажите,чтофинальное
числонезависитотпорядкаопераций.
4.
Валфавитеимеется
݊
букви
݊
соответствующимимантибукв.Выписанословоэто-
гоалфавита.Каждыйквантвремениизсловаудаляютсяслучайновыбранныерядом
стоящиебукваиеёантибуква(влюбомпорядке)дотехпор,поканеостаётсянесокра-
тимоеслово.Докажите,чторезультатнезависитотходапроцесса.
5.
Надоскевыписанынатуральныечисла
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

.Заходразрешаетсявзятьпаручи-
сел,ниодноизкоторыхнеделитсянавторое,изаменитьихнаихНОДиНОК.
(a)
Докажите,чтокакбымынидействовали,мынесможемпроворачиватьэтуопе-
рациюбесконечномногораз.
(b)
Докажите,чтокакбымынидействовали,мызакончимоднимитемжемноже-
ствомчисел.
6.
Врядстоит
100
коробок,всамойлевойизнихлежит
100
спичек.Заходразрешается
излюбойкоробкипереложитьоднуспичкувсоседнююсправакоробку,приусловии,
чтовисходнойкоробкеостанетсянеменьшеспичек,чемполучитсявтой,кудаспичку
мыдобавили.Докажите,чторезультатпроцессанезависитотпорядкаопераций.
source:combinatorics/diamond-lemma-g11.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
25июня2016г.,пара2
Разнобой
1.
Волейбольнаясеткасостоитиз50вертикальныхи300горизонтальныхклеток.Какое
наибольшееколичествоверевочекмеждуузламиможноперерезатьтак,чтобысетка
неразвалилась?
2.
Вграфе16вершин,степенькаждойвершиныравна6.Улюбыхдвухвершинровнодва
общихсоседа.Скольковэтомграфецикловдлины3?
3.
Чтобыотвестиназавтрак,100детейпостроилипарами.Наобратномпутиизстоло-
войихсновапостроилипарами,возможно,составленнымипо-другому.Прикакомнаи-
большем
݊
навернякаможновыбрать
݊
детей,никакиедваизнихнебыливодной
паре?
4.
Существуетлитакойграф,укоторогоровнодваостовныхдерева?
5.
Вклассе21ученик.Увсех,кромеКости,разноечислодрузейвклассе.Сколькодрузей
моглобытьуКости?
6.
Всвязномграферебрапокрашенывдвацветатак,чтоизкаждойвершинывыходитпо-
ровнурёбердвухцветов.Докажите,чтоизлюбойвершинывлюбуюсуществуетпуть,
цветареберкоторогочередуются.
7.
Натурнирприехали100человек.Известно,чтосредилюбых50изнихестьчеловек,
знакомыйсостальными49.Длякакогонаибольшего
݇
можноутверждать,чтовэтой
компаниинайдутся
݇
человек,знакомыхдругсдругом?
8.
ВдеревнеСплетня100жителей.Укаждогожителянеменеетрехдрузейсредиосталь-
ных.Впервыйденьодинизжителейузналинтереснейшуюновостьитутжеподе-
лилсяейсосвоимидрузьями.Каждыйузнающийнаследующийденьтожеделился
новостьюсостальнымисвоимидрузьями.Известно,чтокогда-тоновостьузналивсе.
Ачерезкакоенаибольшееколичестводнейэтовпервыемоглослучиться?
9.
Вершинывыпуклогомногогранникаможнообойтиоднимциклическиммаршрутом.
Докажите,чтограниможноправильнымобразомпокраситьв4цвета.
source:combinatorics/graph/mixture-g11/r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
22июня2016г.,пара2
Конечноеибеконечное
1.
(a)
Существуетлитакоебесконечноемножествонатуральныхчисел,чтолюбые99
егоэлементовимеютобщийделитель,алюбые100взаимнопростые?
(b)
Вбесконечноммножественатуральныхчиселулюбогоконечногоподмножества
естьобщийделитель,большийединицы.Обязательнолиувсехчиселестьобщийде-
литель,большийединицы?
2.
Естьсчетноечислофункций
݂

∶ℝ→ℝ
.Докажите,чтосуществуетфункция
݃
такая,что
онабольшелюбойфункции
݂

начинаяснекоторогомомента
ݔ

,возможно,зависящего
от

.
3.
Можноли
(a)
конечным
(b)
бесконечным
множествомвнутренностейугловссуммойградусныхмер
1

покрытьплоскость?
4.
Плотностью
арифметическойпрогрессии
ܽ

=݇݊+ܾ
,
݊∈ℤ
,
݇>0
назовемчисло
1/݇
.
Можнолиразбитьвсецелыечислана
(a)
конечное
(b)
бесконечное
числопрогрессийссуммойплотностейменьшеединицы?
5.
Естьбесконечнаяпоследовательностьпрямоугольников,площадь
݇
-горавна
݇
2
.Все-
гдалиимиможнопокрытьплоскость?(Прямоугольникиможнокакугодноперено-
ситьиповорачивать).
6.
Каждаяточкаплоскостисцелымикоординатамипокрашенаводиниздесятицветов.
Докажите,чтонайдетсяпрямоугольниксодноцветнымивершинами.
7.
(a)
Данасчетнаяпоследовательностьдействительныхчисел,всечисларазличны.До-
кажите,чтоможновыбратьлибобесконечнуюпоследовательностьвозрастающихчи-
сел,либобесконечнуюпоследовательностьубывающихчисел.
(b)
Всепарынатуральныхчиселпокрасиливдвацвета.Докажите,чтоможновы-
братьбесконечноемножествонатуральныхчисел,всепарыкоторогопокрашеныводин
цвет.
source:combinatorics/infinity-g11r2.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Чатрушки
27июня2016г.,пара1
Разнобойпокомбинаторике
1.
УИванаесть3кускахлеба,4сыраи7колбасы.Сколькимиспособамионможетсделать
бутербродтак,чтобы
(a)
никакиедвакускаколбасынележалирядом;
(b)
никакиедваодинаковыхпродуктаненаходилисьрядом?
2.
Вклеткахшахматнойдоскирасставленыплюсиминусединицы.Оказалось,чтолюбые
двасоседнихстолбцалиборавны,либопротивоположны.Докажите,чтодлястрочек
выполняетсяаналогичноеусловие.
3.
Вмарсианскомалфавите
݇
букв.Дваслованазываются
похожими,
есливнихпоров-
нубуквиониотличаютсяровнооднойбуквой(водномразряде,например:ТРУКС
иТРИКС).Докажите,чтовсесловаможноразбитьна
݇
групптак,чтобыводнойгруппе
небылопохожихслов.
4.
Наплоскостиотмеченонесколькоточек,нележащихнаоднойпрямой,иоколокаждой
написаночисло.Длялюбойпрямой,проходящейчерездвеилиболееотмеченныхто-
чек,суммавсехчисел,написанныхоколоэтихточек,равна0.Докажите,чтовсечисла
равны0.
5.
Последовательностьнатуральныхчисел


}
обладаеттемсвойством,чтодлялюбого
݇
внейсодержитсяровно
݇
делителейчисла
݇
.Докажите,чтовнейсодержитсялюбое
натуральноечислохотябыодинраз.
source:combinatorics/mixture-g11/r2.tex
Глава5
11-1
47
[Московскиесборыпоматематике]
ЧладимирЧикторовичарушков
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
19июня2016г.,пара1
Производные
1.
Докажите,чтоуравнение

3
−3ܾݔ
2
+2ܿݔ−݀=0
имеет3действительныхкорнятогда
итолькотогда,когдасуществуетдействительныечисла
݉
,
݊
,
݌
,
ݍ
такие,что
{
ܾ=݉+݊+݌+ݍ,
ܿ=݉݊+݉݌+݉ݍ+݊݌+݊ݍ+݌ݍ,
݀=݉݊݌+݉݊ݍ+݉݌ݍ+݊݌ݍ.
2.
Многочленчетвертойстепени
ܲ(ݔ)
имеетчетырекорня,попарныерасстояниямежду
которыминеменьше
1
.Докажите,чтонайдутсядвакорня
ܲ

(ݔ)
,находящиесянарас-
стояниинеменьше
1
.
3.
Найдитевседействительные
ܽ
и
ܾ
такие,чтоуравнение
ݔ
3
+ܽݔ
2
+ܾݔ+ܿ=0
имеет
неболеедвухположительныхкорнейпривсехзначениях
ܿ
.
4.
Сколькосуществуетмногочленоввида
ݔ
3
+ܽݔ
2
+ܾݔ+ܿ
таких,чтомножествоихкорней
есть
{ܽ,ܾ,ܿ}
?
5.
Докажите,чтоприцелыхзначениях
ܿ
уравнение
ݔ⋅(ݔ
2
−1)⋅(ݔ
2
−10)=ܿ
неможет
иметьпятицелыхкорней.
6.
Докажите,чтоесливсекорнимногочленасдействительнымикоэффициентами
ܲ(ݔ)=
ܽ

ݔ

+…+ܽ
0
действительны,тоивсеегопроизводныеимеютлишьдействительные
корни.
7.
Пусть
ܲ(ݔ)
—многочленстепени
݊
и
ܲ(ܽ)⩾0
,
ܲ

(ܽ)⩾0
,…,
ܲ
(௡−1)
(ܽ)⩾0
,
ܲ
(௡)
(ܽ)>0
.
Докажите,чтодействительныекорниуравнения
ܲ(ݔ)=0
непревосходят
ܽ
.
8.
Докажите,чтомногочлен
ܲ(ݔ)=1+ݔ+ݔ
2
/2!+…+ݔ

/݊!
неимееткратныхкорней.
9.
Пусть
ܿ
0
+ܿ
1
/2+…+ܿ

/(݊+1)=0
.Докажите,чтомногочлен
ܿ
0
+ܿ
1
ݔ+ܿ
2
ݔ
2
+…+ܿ

ݔ

имеетхотябыодиндействительныйкорень.
source:algebra/polynomial/derivative-g11.tex
[Московскиесборыпоматематике]
ХлексейЧадимовичДоледенок
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
16июня2016г.,пара1
ПрямаяСимсона
ПрямаяСимсона.
Рассмотримтреугольник
ܣܤܥ
ипроизвольнуюточку
ܲ
.Основанияпер-
пендикуляровизточки
ܲ
напрямые
ܣܤ
,
ܣܥ
,
ܤܥ
лежатнаоднойпрямойтогдаитолькотогда,
когдаточка
ܲ
лежитнаописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.
1.
Пусть
ܣܣ
1
,
ܤܤ
1
,
ܥܥ
1
—высотыостроугольноготреугольника
ܣܤܥ
.Докажите,чтоосно-
ванияперпендикуляровизточки
ܣ
1
напрямые
ܣܤ
,
ܣܥ
,
ܤܤ
1
,
ܥܥ
1
лежатнаоднойпрямой.
2.
Двеокружностипересекаютсявточках
ܣ
и
ܤ
.Черезточку
ܣ
проходитпрямая,пересе-
кающаяокружностивточках
ܥ
и
ܦ
.Точки
ܲ
и
ܳ
—проекцииточки
ܤ
накасательные
кокружностям,проведеннымвточках
ܥ
и
ܦ
.Докажите,чтопрямая
ܲܳ
касаетсяокруж-
ности,построеннойна
ܣܤ
какнадиаметре.
3.
Втреугольнике
ܣܤܥ
угол
ܣ
равен
60

.Пусть
ܤܤ
1
и
ܥܥ
1
—биссектрисы.Докажите,что
точка,симметричная
ܣ
относительно
ܤ
1
ܥ
1
,лежитнапрямой
ܤܥ
.
4.
Втреугольнике
ܣܤܥ
провелибиссектрису
ܣܣ
1
,източки
ܣ
1
опустилиперпендикуляры
ܣ
1
ܺ
и
ܣ
1
ܻ
настороны
ܣܤ
и
ܣܥ
соответственно.Наотрезке
ܻܺ
выбранаточка
ܯ
так,что
ܯܣ
1
⊥ܤܥ
.Докажите,чтоточка
ܯ
лежитнамедианетреугольника
ܣܤܥ
,проведенной
извершины
ܣ
.
5.
Втреугольнике
ܣܤܥ
изпроизвольнойточки
ܲ
дуги
ܤܥ
описаннойокружноститре-
угольника
ܣܤܥ
опущеныперпендикуляры
ܲܺ
и
ܻܲ
настороны
ܣܤ
и
ܤܥ
.Пусть
ܯ
и
ܰ

серединыотрезков
ܣܥ
и
ܻܺ
.Докажите,что
∠ܯܰܲ=90

.
6.
Пусть
ܪ
—ортоцентртреугольника
ܣܤܥ
,
ܲ
—произвольнаяточканаописаннойокруж-
ности
ܣܤܥ
.Докажите,чтопрямаяСимсонаточки
ܲ
делитотрезок
ܲܪ
пополам.
7.
(a)
Точка
ܲ
движетсяпоописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
.Докажите,что
приэтомпрямаяСимсонаточки
ܲ
относительнотреугольника
ܣܤܥ
поворачивается
наугол,равныйполовинеугловойвеличиныдуги,пройденнойточкой
ܲ
.
(b)
Докажите,чтопрямыеСимсонадвухдиаметральнопротивоположныхточекопи-
саннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
перпендикулярны,аихточкапересеченияле-
житнаокружностиЭйлера.
8.
(a)
Докажите,чтонаописаннойокружноститреугольникасуществуетровнотриточ-
китаких,чтоихпрямаяСимсонакасаетсяокружностиЭйлера,причемониобразуют
равностороннийтреугольник.
(b)
ТеоремаМорлея.
Втреугольнике
ܣܤܥ
провелитрисектрисыуглов.Пусть
ܣ
1
—точ-
капересеченияближайшихкстороне
ܤܥ
трисектрисуглов
ܤ
и
ܥ
.Аналогичноопре-
деляютсяточки
ܤ
1
и
ܥ
1
.Докажите,чтотреугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
правильный,а
∠ܣܤ
1
ܥ
1
=
60

+∠ܥ/3
.
(c)
Докажите,чтонаописаннойокружноститреугольника
ܣܤܥ
найдетсятриточки
таких,чтоихпрямыеСимсонакасаютсяокружностиЭйлера,причемэтиточкиобразу-
ютправильныйтреугольник,стороныкоторогопараллельнысторонамтреугольника
Морлея.
9.
Данфиксированныйтреугольник
ܣܤܥ
.Пусть
ܦ
—произвольнаяточкавплоскости
треугольника,несовпадающаясеговершинами.Окружностьсцентромв
ܦ
,проходя-
щаячерез
ܣ
,пересекаетвторичнопрямые
ܣܤ
и
ܣܥ
вточках
ܣ

и
ܣ

соответственно.
Аналогичноопределяютсяточки
ܤ

,
ܤ

,
ܥ

и
ܥ

.Точку
ܦ
назовемхорошей,еслиточ-
ки
ܣ

,
ܣ

,
ܤ

,
ܤ

,
ܥ

и
ܥ

лежатнаоднойокружности.Сколькоможетоказатьсяточек,
хорошихдляданноготреугольника
ܣܤܥ
?
source:geometry/simson-line-g11r1.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
17июня2016г.,пара1
ЧислаКаталана
Последовательность
{ܿ

}
,заданнаярекуррентнымсоотношением
ܿ
0
=ܿ
1
=1,ܿ
௡+1
=ܿ
0
ܿ

+ܿ
1
ܿ
௡−1
+…+ܿ

ܿ
0
,
называетсяпоследовательностью
чиселКаталана
.Вотпервыечленыэтойпоследователь-
ности:
1
,
1
,
2
,
5
,
14
,…
1.
Докажитеявнуюформулудлячиселэтойпоследовательности:
ܿ

=
(2݊)!
݊!(݊+1)!
.
2.
Докажите,чтодлялюбойпоследовательности

1
,…,ݔ

)
целыхчисел,суммакоторых
равна
1
,ровноуодногоизеециклическихсдвиговвсечастичныесуммыположитель-
ные.
Вследующихзадачахзадачахнужнодоказать(поиндукцииили,чтолучше,построивком-
бинаторнуюбиекциюсчем-нибудьужеизвестным),что
ܿ

—эточисло
3.
Триангуляций
выпуклого
(݊+2)
-угольника:разрезанийна
݊
треугольниковнепересе-
кающимисядиагоналями.
4.
Неассоциативныхпроизведений
݊+1
букв:способоврасставитьскобкитак,чтобыпо-
рядокумноженийбылоднозначноопределен.Например,для
݊=3
:
ܽ(ܾ(ܿ݀))(ܾܽ)(ܿ݀)((ܾܽ)ܿ)݀ܽ((ܾܿ)݀)(ܽ(ܾܿ))݀
5.
Путей
източки
(0,0)
вточку
(݊,݊)
полиниямклетчатойбумаги,идущихвверхивпра-
во,неподнимающихсявышепрямой
ݕ=ݔ
.
6.
Последовательностей
длины

,вкоторых
݊
развстречается
1
,
݊
развстречается
−1
,
ивсечастичныесуммыпоследовательностинеотрицательны.
7.
Способовсоединить

точекнаокружности
݊
непересекающимисяхордами(излюбой
точкивыходитоднахорда).
8.
Плоскихкорневыхдвоичныхдеревьев
с
݊
вершинами:укаждойвершинынеболеедвух
сыновей(правыйилевый)иодинпредок(кромекорня,укоторогонетпредков).
9.
Параллеломино
периметра
2݊+2
:парпутейнаклетчатойбумагесначалом
(0,0)
икон-
цомводнойитойжеточке,идущихтольковверхивправоинеимеющихобщихточек,
кроменачалаиконца.
10.
Путей
източки
(0,0)
вточку
(݊−1,݊−1)
,идущихвправо,вверхилиподиагонали
вправовверх,неподнимающихсявышепрямой
ݕ=ݔ
итаких,чтоидтиподиагонали
можнотольковдольпрямой
ݕ=ݔ
.
11.
Перестановокчисел
1
,
2
,…,
݊
,укоторыхдлинакаждойубывающейподпоследователь-
ностинеболее
2
.Например,для
݊=3
:
123213132312231
12.
Способовразбить
всенатуральныечислаот
1
до
݊
нанескольконезацепленныхгрупп
(нельзяпри
ܽ<ܾ<ܿ<݀
отнести
ܽ
и
ܿ
коднойгруппе,а
ܾ
и
݀
—кдругой).Например,
для
݊=3
:
12312,313,21,231,2,3
source:combinatorics/catalan-numbers-g11/r1.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
19июня2016г.,пара2
Diamondlemma
1.
Вдеревебесконечноечисловершин,астепенькаждойвершиныконечная.Докажите,
чтоможновыбратьпростойпуть,состоящийизбесконечногомножествавершин.
2.
Diamondlemma.
Данориентированныйграфс
(a)
конечным;
(b)
бесконечным
множествомвершин.Будемназыватьвершину
ݒ
потомком
вершины
ݑ
,еслисуществу-
етпутьиз
ݑ
в
ݒ
;еслиестьреброиз
ݑ
в
ݒ
,то
ݒ

ребёнок
ݑ
.Известно,чтовсепутивграфе
конечны(вчастности,нетциклов)ичтовыполненоследующееусловие:длялюбых
двухдетейлюбойвершиныуэтихдетейсуществуетобщийпотомок.Докажите,что
улюбойвершиныестьлишьодинпотомокисходящейстепени
0
.
Вдальнейшихзадачахэтойлеммойможнопользоватьсябездоказательства.
3.
Надоскевыписаныположительныечисла
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

.Заходразрешаетсявзятьлюбые
двачисла
ݔ
и
ݕ
изаменитьихзначениемвыражения
ݔݕ+ݔ+ݕ
.Докажите,чтофинальное
числонезависитотпорядкаопераций.
4.
Валфавитеимеется
݊
букви
݊
соответствующимимантибукв.Выписанословоэто-
гоалфавита.Каждыйквантвремениизсловаудаляютсяслучайновыбранныерядом
стоящиебукваиеёантибуква(влюбомпорядке)дотехпор,поканеостаётсянесокра-
тимоеслово.Докажите,чторезультатнезависитотходапроцесса.
5.
Надоскевыписанынатуральныечисла
ܽ
1
,
ܽ
2
,…,
ܽ

.Заходразрешаетсявзятьпаручи-
сел,ниодноизкоторыхнеделитсянавторое,изаменитьихнаихНОДиНОК.
(a)
Докажите,чтокакбымынидействовали,мынесможемпроворачиватьэтуопе-
рациюбесконечномногораз.
(b)
Докажите,чтокакбымынидействовали,мызакончимоднимитемжемноже-
ствомчисел.
6.
Врядстоит
100
коробок,всамойлевойизнихлежит
100
спичек.Заходразрешается
излюбойкоробкипереложитьоднуспичкувсоседнююсправакоробку,приусловии,
чтовисходнойкоробкеостанетсянеменьшеспичек,чемполучитсявтой,кудаспичку
мыдобавили.Докажите,чторезультатпроцессанезависитотпорядкаопераций.
source:combinatorics/diamond-lemma-g11.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
25июня2016г.,пара1
Разнобой
1.
Вграфе16вершин,степенькаждойвершиныравна6.Улюбыхдвухвершинровнодва
общихсоседа.Скольковэтомграфецикловдлины3?
2.
Вклассе21ученик.Увсех,кромеКости,разноечислодрузейвклассе.Сколькодрузей
моглобытьуКости?
3.
Всвязномграферебрапокрашенывдвацветатак,чтоизкаждойвершинывыходитпо-
ровнурёбердвухцветов.Докажите,чтоизлюбойвершинывлюбуюсуществуетпуть,
цветареберкоторогочередуются.
4.
ВдеревнеСплетня100жителей.Укаждогожителянеменеетрехдрузейсредиосталь-
ных.Впервыйденьодинизжителейузналинтереснейшуюновостьитутжеподе-
лилсяейсосвоимидрузьями.Каждыйузнающийнаследующийденьтожеделился
новостьюсостальнымисвоимидрузьями.Известно,чтокогда-тоновостьузналивсе.
Ачерезкакоенаибольшееколичестводнейэтовпервыемоглослучиться?
5.
Вершинывыпуклогомногогранникаможнообойтиоднимциклическиммаршрутом.
Докажите,чтограниможноправильнымобразомпокраситьв4цвета.
6.
Степенькаждойвершиныграфанепревосходит
݊
,приэтомсредилюбых
݉
вершин
естьдвесоединенныеребром.Прикакомнаибольшемчислевершинтакоевозможно?
7.
Встране120городов.Некоторыепарыгородовсоединеныдорогами,непроходящими
черездругиегорода.Изкаждогогородавыходитхотябытридороги.Докажитечтосу-
ществуетнесамопересекающийсяциклическиймаршрутсостоящийнеболеечемиз11
городов.
8.
Вграфе
ܧ
ребери
ܶ
треугольников.Докажите,что

2
⩽2ܧ
3
.
source:combinatorics/graph/mixture-g11/r1.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
21июня2016г.,пара1
ЛеммаКёнигаипрочеебесконечное
1.
(a)
Существуетлитакоебесконечноемножествонатуральныхчисел,чтолюбые
99
егоэлементовимеютобщийделитель,алюбые
100
—взаимнопростые?
(b)
Вбесконечноммножественатуральныхчиселулюбогоконечногоподмножества
естьобщийделитель,большийединицы.Обязательнолиувсехчиселестьобщийде-
литель,большийединицы?
2.
Задачаотозвана.
Можно
ли
написать
в
клетки
бесконечного
клетчатого
листа
целые
числа
так,
чтобы
в
каждой
строчке
и
каждом
столбце
каждое
число
встречалось
по
одному
разу?
3.
СчётнаятеоремаРамсея.
(a)
Даносчетноемножестволюдей.Обязательнолисрединихестьбесконечномного
попарнознакомыхилибесконечномногопопарногонезнакомых?
(b)
Всепарынатуральныхчиселпокрасилив
50
цветов.Обязательнолиможновы-
братьбесконечноемножествонатуральныхчисел,всепарыкоторогопокрашеныводин
цвет?
(c)
Всетройкинатуральныхчисел…
Атеперьпришлапораприменятьзаглавнуюлемму…
4.
Допустим,любуюконечнуюкартуможноправильнопокраситьв
4
цвета.Выведите
изэтого,чтобесконечнуюкартуможнопокраситьв
4
цвета.
5.
СчётнаятеоремаБрукса.
Вграфесосчетнымчисломвершинстепенькаждойверши-
нынеболее17.Докажите,чтовершиныможноправильнымобразомпокраситьв17
цветов.
6.
СчётнаялеммаХолла.
Данобесконечноемножествоюношейибесконечноемножество
девушек.Каждомуюношенравитсяконечноеколичестводевушек.Оказалось,чтолю-
бым
݇
юношамсуммарнонравитсянеменее
݇
девушек.Докажите,чтоможновсемюно-
шамодновременновыбратьпару(тоестькаждомувыбратьнравящуюсяемудевушку,
такчтобыразнымюношамсоответствовалиразныедевушки).
7.
ВыведитеизбесконечнойтеоремыРамсеяконечную.Тоестьдокажите,чтодлялюбо-
гонатурального
݇
илюбогонатурального
݊
существуеттакоечисло
ܴ
௞,௡
,чтоприлю-
бойпокраскереберполногографана
ܴ
௞,௡
вершинахв
݇
цветовнайдетсяодноцветный
полныйподграфна
݊
вершинах.
8.
Валфавитеконечноеколичествобукв.
Словом
назовемлюбуюпоследовательность
букв.Пустьнекоторыесловаобъявленызапретными.Приэтом,еслиусловаестьза-
прещенныеподслова,тоонотожезапрещенное.Оказалось,чтолюбоебесконечное
словозапрещенное.Докажите,чтонезапрещенныхсловконечноечисло.
9.
Валфавитеконечноеколичествобукв.Словомназовемлюбуюконечнуюпоследова-
тельностьбукв.Вязыкенекоторыесловазапрещенные.Приэтом,еслиподсловосло-
вазапрещенное,тосамословотожезапрещенное.Безумныйпрофессорпишетсло-
ванадоске.Приэтомкаждуюминутуонменяеттекущееслово
ݓ
наслово
ݓܣݓ
,где
ܣ
—произвольноеслово(вообщеговоря,разноедляразныхдействий).Оказалось,что
скакогобысловапрофессорненачалсвоиманипуляции,раноилипоздноонполу-
читнадоскезапрещенноеслово.Докажите,чтонезапрещенныхсловконечноеколи-
чество.
10.
Всенатуральныечислапокрасиливнесколькоцветов.Докажите,чтонайдетсяцвет
такой,чтодлялюбогонатурального
݊
бесконечномногочиселэтогоцветаделится
на
݊
.
11.
Натуральныечислапокрашенывнесколькоцветов.Докажите,чтоможновыбратьодин
изцветовинатуральное
݉
так,чтодлялюбого
ܰ
существуют
ܰ
чисел
ܽ
1

2
<…<
ܽ

этогоцветатакие,что
ܽ
௜+1



длялюбого

.
source:combinatorics/infinity-and-konig-g11r1.tex
[Московскиесборыпоматематике]
Ч.Х.Брагин,И.Ч.Митрофанов
[
14228июня2016
]группа:
Пирожки
26июня2016г.,пара1
Разнобойпокомбинаторике
1.
Вмарсианскомалфавите
݇
букв.Дваслованазываются
похожими,
есливнихпоров-
нубуквиониотличаютсяровнооднойбуквой(водномразряде,например:ТРУКС
иТРИКС).Докажите,чтовсесловаможноразбитьна
݇
групптак,чтобыводнойгруппе
небылопохожихслов.
2.
Наплоскостиотмеченонесколькоточек,нележащихнаоднойпрямой,иоколокаждой
написаночисло.Длялюбойпрямой,проходящейчерездвеилиболееотмеченныхто-
чек,суммавсехчисел,написанныхоколоэтихточек,равна0.Докажите,чтовсечисла
равны0.
3.
Сколькосуществуетперестановокиз
݊
элементов,неимеющихнеподвижныхэлемен-
тов?
4.
ПетяиВасяиграютвигру,правилакоторойтаковы.Петязагадываетнатуральноечис-
ло
ݔ
cсуммойцифр
2012
.ЗаодинходВасявыираетлюбоенатуральноечисло
ܽ
иузна-
етсуммуцифрчисла
|ݔ−ܽ|
.КакоенаименьшеечислоходовпотребуетсяВасе,чтобы
гарантрованнонайти
ݔ
?
5.
Вкаждойклеткебесконечногоклетчатоголистарасставленыдействительныечисла.
Оказалось,чтосуммачиселвкаждомквадратепомодулюнепревосходит1.Докажите,
чтосуммачиселвлюбомпрямоугольникенепревосходит1000.
source:combinatorics/mixture-g11/r1.tex

Приложенные файлы

  • pdf 7757455
    Размер файла: 405 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий