Докажите, что функция f (x) sin 2x + cos 3x является периодической, и найдите её наименьший положительный период. Таким образом, все периоды нашей функции даются формулой T 2?n, (n ненулевое.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
¾Ëîìîíîñîâ¿,2014
)Íàéäèòåíàèáîëüøååçíà÷åíèåâûðàæåíèÿ
4

2
p
2(sin
+cos
)cos4
cos8
ÎÌÌÎ,2009
)Íàéäèòåñóììóâñåõêîðíåéóðàâíåíèÿ
2cos3
+8
j�
7=0
ïðèíàäëåæàùèõîòðåçêó
3
;
3
4
]
ÌÃÓ,ýêîíîìè÷.ô-ò,2000
)Ïðîôóíêöèþ
èçâåñòíî,÷òîîíàîïðåäåëåíàíàîòðåçêå
;6
èóäîâëåòâîðÿåòíàýòîììíîæåñòâåñèñòåìå
cos
2
f
(

1
12cos
x

=
10
x
;
0
6
f
(
6

Ðåøèòüíåðàâåíñòâî
8
.
3
p
6
i
ÎëèìïèàäàÂØÝ,2011,11
)Íàéäèòåíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè
)=cos(cos(cos
cos1
7
.
¾Ëîìîíîñîâ¿,2016
)Íàéäèòåìàêñèìàëüíîå÷èñëî,ïðèíàäëåæàùååìíîæåñòâóçíà÷åíèé
)=14125sin
+20cos
+24180sin2
6048cos
8064sin
+6025
¾Ëîìîíîñîâ¿,2012
)Íàéäèòåìíîæåñòâîçíà÷åíèéôóíêöèè
)=tg
+6sin
2cos2
cos
2
2
:

21
;
7

n
n
3
p

1
o
ÌÔÒÈ,1996
)Äàíàôóíêöèÿ
)=
+cos
+cos
1)êîðíèóðàâíåíèÿ
)=
2)íàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè


+

n
2)1è
¾Ôèçòåõ¿,2015,10
)Äàíàôóíêöèÿ
)=
2cos
+sin
2sin
+3cos
à)êîðíèóðàâíåíèÿ
)=
á)íàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè

+

n
,

;á)
è
7
ÌÃÓ,ãåîëîãè÷.ô-ò,1998
)Íàéòèíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè
)=cos
+4cos
+7cos
+6cos
8
:
è

ÌÃÓ,ô-òïî÷âîâåäåíèÿ,1997
)Íàéòèíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿâûðàæåíèÿ
cos2
2
+
q
2

p
3cos
cos2
2
+
q
11

p
3cos
+1

p
è


1
+
p

p

2
6
.
¾Ôèçòåõ¿,2013
)Ñêîëüêîñóùåñòâóåòíàòóðàëüíûõ
òàêèõ,÷òîôóíêöèÿ
)=cos
èìååòïåðèîä
¾Ôèçòåõ¿,2011
)Ñêîëüêîðàçëè÷íûõöåëûõçíà÷åíèéïðèíèìàåòôóíêöèÿ
)=17sin
+tg
ÌÃÓ,ôèëîëîãè÷.ô-ò,1978
)Íàéòèíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè
)=sin
+cos
2
:
è

3
ÌÃÓ,ô-òãëîáàëüíûõïðîöåññîâ,2005
)Âûÿñíèòå,âåðíîëèñëåäóþùååóòâåðæäåíèå:ìíî-
æåñòâîçíà÷åíèéôóíêöèè
=2cos4
cos2
ïðèíàäëåæèòîòðåçêó
p
;3
ÌÃÓ,ìåõìàò,1995
)Íàéòèâñå÷èñëà
,äëÿêîòîðûõôóíêöèÿ
)=
(2sin
+cos
+1)
íåïðèíèìàåòçíà÷åíèé,áîëüøèõ3.
1]
ÌÃÓ,ìåõìàò,2010
)Íàéäèòåíàèìåíüøååèçïîëîæèòåëüíûõçíà÷åíèéôóíêöèè
)=
3cos
+2sin
¾Ôèçòåõ¿,2011
)Íàéäèòåíàèìåíüøååçíà÷åíèåâûðàæåíèÿ
3sin
+7cos
+8sin
+12cos
:
¾Ëîìîíîñîâ¿,2015
)Íàéäèòåíàèìåíüøååçíà÷åíèåâûðàæåíèÿ
2(1+cos2
8

4
p
3sin
+2
3+2
11

p
3cos
cos2
p

40
5
.
ãäå
p
37
;
sin
'
=
6
p
37
:
Åñëè
x
=

'
,òî
37+2
Îáîçíà÷èì
37+2
=2
.Òîãäà
,èíóæíîñðàâíèòüäàííóþðàçíîñòü
ñíóë¼ì.Çàìåòèìïðèýòîì,÷òî
èìååòòîòæåçíàê,÷òîè
.Âû÷èñëÿåì:
37+2
=230+49
;q
=528
îòêóäà
=49
298=
88837

p
,èïîýòîìóîòâåòíàâîïðîñçàäà÷èóòâåðäèòåëüíûé.
Çàäà÷à.
¾Ëîìîíîñîâ¿,2014
)Íàéäèòåíàèìåíüøååçíà÷åíèåâûðàæåíèÿ
6

2

p
3sin
cos3
cos6
Îáîçíà÷èìäàííîåâûðàæåíèå÷åðåç
èïðåîáðàçóåìåãî:
6

4

p
3
2
sin
x

1
cos3
(2cos
6

4sin
cos3
2cos
Îáîçíà÷èìòàêæå
=sin
=cos3
.Èìååì:
4

2
2

6
=

+6
Çíàìåíàòåëüïîñëåäíåéäðîáèïîëîæèòåëåí.×òîáûíåñâÿçûâàòüñÿñîçíàêîì
,îöåíèì
ìîäóëüïîëó÷åííîãîâûðàæåíèÿñó÷¼òîìíåðàâåíñòâ
+6
6

2
2
6
1
6

2

1
=
1
îòêóäà
4
6
f
6
1
4
:
Åñëè
x
=
2
,òî
=1
,èòîãäàâîöåíêåñíèçóäîñòèãàåòñÿðàâåíñòâî.Ñëåäîâàòåëüíî,
íàèìåíüøååçíà÷åíèåâåëè÷èíû
Çàäà÷è
¾ÏîêîðèÂîðîáü¼âûãîðû!¿,2016
)Ñðàâíèòå÷èñëà
(sin1+cos1)
.Îòâåòîáîñíóéòå.
÷èñëîáîëüøå
Âñåðîññ.,2015,ÌÝ,11
)Íåèñïîëüçóÿêàëüêóëÿòîðà,îïðåäåëèòåçíàê÷èñëà
(cos(cos1)
cos1)(sin(sin1)
sin1)
ñ
4
.
Ãðàôèêîìôóíêöèè
ñëóæèòïàðàáîëà,âåòâèêîòîðîéíàïðàâëåíûââåðõ.Àáñöèññàâåð-
ïðèíàäëåæèòîòðåçêó
,ïîýòîìóíàèìåíüøååçíà÷åíèåôóíêöèè
ãàåòñÿââåðøèíå:
)=
8

9
+2=
Íàèáîëüøåãîçíà÷åíèÿôóíêöèÿ
äîñòèãàåòíàîäíîìèçêîíöîâîòðåçêà
(0)=2
;'
(1)=1
=2
Òåïåðüíàõîäèìíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè
=1+
=1+
7
=
15
=1+
=1+
2
=
3
2
:
Îòâåò:
1)


n
;2)
7
è
3
Âíåêîòîðûõñëó÷àÿõìîæíîèññëåäîâàòüòðèãîíîìåòðè÷åñêóþôóíêöèþñïîìîùüþòàê
ìåòîäàâñïîìîãàòåëüíîãîàðãóìåíòà
.Íàïîìíèì,÷òîðå÷üèä¼òîñëåäóþùåì
a
2
+
b
2

a
p
a
2
+
b
2
cos
x
+
b
p
èïîñêîëüêó
p
a
2
+
b
2

2
+

b
p
=1
òî÷êàñêîîðäèíàòàìè
p
a
2
+
2
;
b
p
ðàñïîëîæåíàíàåäèíè÷íîéîêðóæíîñòè;ñëåäîâàòåëüíî,
ñóùåñòâóåòòàêîéóãîë
,÷òî
p
a
2
+
b
2
;
sin
'
=
b
p
a
2
+
b
2
:
Ïîýòîìó
a
cos
x
+
b
sin
x
=
p
+sin
)=
Îòñþäà,â÷àñòíîñòè,âûòåêàåò,÷òîìíîæåñòâîçíà÷åíèéôóíêöèè
åñòüîòðåçîê
a
2
+
b
2
;
p
Çàäà÷à.
ÌÃÓ,ãåîëîãè÷.ô-ò,1981
)Ïðèíèìàåòëèôóíêöèÿ
=sin
12sin
+3cos
õîòÿáûâîäíîéòî÷êåïîëîæèòåëüíîåçíà÷åíèå?
cos2
6sin2
+3
1+cos2
2

2
3
p
66=cos2
6sin2
+2
Ââîäÿâñïîìîãàòåëüíûéàðãóìåíò,ïîëó÷èì
37cos(2
)+2
66
;
3
.
Çàäà÷à.
ÌÃÓ,ô-òãëîáàëüíûõïðîöåññîâ,2005
)Âûÿñíèòå,âåðíîëèñëåäóþùååóòâåðæäåíèå:
ìíîæåñòâîçíà÷åíèéôóíêöèè
=cos2
3sin
ïðèíàäëåæèòîòðåçêó
=1
2sin
3sin
.Ñäåëàåìçàìåíó
=sin
.Êîãäà
ïðîáåãàåòâñå
çíà÷åíèÿèç
,âåëè÷èíà
ïðîáåãàåòâñåçíà÷åíèÿèçîòðåçêà
�1;1]
.Ïîýòîìóçàäà÷àñâîäèòñÿ
êíàõîæäåíèþìíîæåñòâàçíà÷åíèéêâàäðàòè÷íîéôóíêöèè
)=
+1
íàîòðåçêå
=[
1;1]
Ãðàôèêîìôóíêöèè
ñëóæèòïàðàáîëà,âåòâèêîòîðîéíàïðàâëåíûâíèç.Àáñöèññàâåð-
øèíûïàðàáîëû
ïðèíàäëåæèòîòðåçêó
,ïîýòîìóíàèáîëüøååçíà÷åíèåôóíêöèèíà
äàííîìîòðåçêåäîñòèãàåòñÿââåðøèíåïàðàáîëû:
)=
4

2

3



3
+1=
Íàèìåíüøååçíà÷åíèåôóíêöèè
íàîòðåçêå
äîñòèãàåòñÿíàîäíîìèçêîíöîâîòðåçêà.
1)=2
;y
(1)=
Èòàê,ìíîæåñòâîçíà÷åíèéíàøåéôóíêöèèíàîòðåçêå
åñòüîòðåçîê
)=
.Îñòà-
¼òñÿñðàâíèòü÷èñëà
8
è
p
.Èìååì:
8

p
5=
289
64

p
5=
289
64

r
320
64

0
Ïîýòîìó
E
(
)



p
,òàê÷òîóòâåðæäåíèåçàäà÷èâåðíî.
Çàäà÷à.
ÌÔÒÈ,1996
)Äàíàôóíêöèÿ
)=
2sin
+3cos
2cos
+sin
1)êîðíèóðàâíåíèÿ
)=
2)íàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿôóíêöèè
)=
2sin
+3
+sin
ïîñëåçàìåíû
=sin
èíåñëîæíûõïðåîáðàçîâàíèéïîëó÷àåìôóíêöèþ
)=
+3
+2
=1+
+2
;t
[0;1]
Ïðèðàâíèâàÿäàííîåâûðàæåíèåê
,ëåãêîïîëó÷àåì
+9=0
,òîåñòü
=0
Îòñþäà
4
,
sin
x
=

p
3
2
è
x
=


n
).Ýòîîòâåòíàâîïðîñïóíêòà1.
Òðåáîâàíèåïóíêòà2ðàâíîñèëüíîñëåäóþùåìó:íàéòèíàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿ
íàîòðåçêå
=[0;1]
.Äëÿýòîãîçàïèøåì(
)ââèäå
)=1+
ãäå
)=2
+2
.Äèñêðèìèíàíòäàííîãîêâàäðàòíîãîòð¼õ÷ëåíàìåíüøåíóëÿ,ïîýòîìó
ïðèíèìàåòòîëüêîïîëîæèòåëüíûåçíà÷åíèÿ.
.
È.Â.ßêîâëåâ
Ìàòåðèàëûïîìàòåìàòèêå
Èññëåäîâàíèåòðèãîíîìåòðè÷åñêèõôóíêöèé
Íàïîìíèì,÷òîôóíêöèÿ
íàçûâàåòñÿ
,åñëèñóùåñòâóåòòàêîå÷èñëî
=0
÷òîäëÿëþáîãî
èçîáëàñòèîïðåäåëåíèÿôóíêöèè
îáà÷èñëà
òàêæåïðèíàäëåæàòå¼
îáëàñòèîïðåäåëåíèÿèâûïîëíåíûðàâåíñòâà
)=
)=
.×èñëî
ïðèýòîì
íàçûâàåòñÿ
ïåðèîäîì
äàííîéôóíêöèè.
Îñíîâíûåòðèãîíîìåòðè÷åñêèåôóíêöèèÿâëÿþòñÿïåðèîäè÷åñêèìè.Òàê,ôóíêöèè
èìåþòíàèìåíüøèéïîëîæèòåëüíûéïåðèîä
;ôóíêöèè
èìåþòíàèìåíüøèé
ïîëîæèòåëüíûéïåðèîä
Çàäà÷à.
Äîêàæèòå,÷òîôóíêöèÿ
)=sin2
+cos3
ÿâëÿåòñÿïåðèîäè÷åñêîé,èíàéäèòåå¼
íàèìåíüøèéïîëîæèòåëüíûéïåðèîä.
Ëåãêîâèäåòü,÷òî
+2
)=sin(2(
+2
))+cos(3(
+2
))=
=sin(2
+4
)+cos(3
+6
)=sin2
+cos3
ïîýòîìóôóíêöèÿ
ïåðèîäè÷íàñïåðèîäîì
.Íàéä¼ìå¼íàèìåíüøèéïîëîæèòåëüíûéïå-
ðèîä.
Ïóñòü
íåêîòîðûéïåðèîäôóíêöèè
.Òîãäàäëÿëþáîãî
))+cos(3(
))=sin2
+cos3
+2
sin2
=cos3
+3
÷òîïîñëåïðåîáðàçîâàíèÿðàçíîñòåéñèíóñîâèêîñèíóñîââïðîèçâåäåíèÿïðèâîäèòêðàâåíñòâó
)=sin
2
sin

3
+
3
Ýòîðàâåíñòâî,íàïîìíèì,äîëæíîâûïîëíÿòüñÿ
ïðèâñåõ
.Äëÿýòîãîäîñòàòî÷íî,
=0
=0
òîåñòü
k;k
m
;m
Èçýòèõðàâåíñòâèìååì
=2
,îòêóäà
÷¼òíîå÷èñëî,
=2
(èòîãäà
=3
=2
n
Ïîêàæåìòåïåðü,÷òîñèñòåìà(
)ÿâëÿåòñÿòàêæåèíåîáõîäèìûìóñëîâèåìâûïîëíèìîñòè
ðàâåíñòâà(
)ïðèëþáîì
(èíûìèñëîâàìè,äðóãèõïåðèîäîâ,êðîìå
n
,íàøàôóíêöèÿèìåòü
íåìîæåò).Âñàìîìäåëå,ïóñòü
=2
n
èïóñòü
.Òîãäàëåâàÿ÷àñòü(
)ðàâíà
=0
àïðàâàÿ÷àñòüðàâíàíóëþ.Çíà÷èò,ðàâåíñòâî(
)íåìîæåòáûòüâûïîëíåíîïðèâñåõ
Òàêèìîáðàçîì,âñåïåðèîäûíàøåéôóíêöèèäàþòñÿôîðìóëîé
=2
n
,(
íåíóëåâîå
öåëîå÷èñëî),àíàèìåíüøèìïîëîæèòåëüíûìïåðèîäîìáóäåò÷èñëî
Íàîëèìïèàäàõèýêçàìåíàõâñòðå÷àþòñÿçàäà÷è,âêîòîðûõòðåáóåòñÿíàéòèìíîæåñòâî
çíà÷åíèéòðèãîíîìåòðè÷åñêîéôóíêöèè,íàèáîëüøååèíàèìåíüøååçíà÷åíèÿèò.ä.
.

Приложенные файлы

  • pdf 7698253
    Размер файла: 801 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий