ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Уравнения вида cos x a sin x a tg x a ctg x a называются простейшими тригонометрическими , при условии а уравнения sin x a . cos x a имеют корень, два других уравнения имеют корень при любом а. b) cos.


Негосударственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Волгоградский институт бизнеса»
Палласовский филиал
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
и контрольные задания для студентов заочной формы обучения
на базе основного общего образования ( 9 классов )
1 год обучения
2011
СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ
Протокол №____ ЗАМ.директора по УВР
от «___»________2011 ______________________
Михопарова А.Н.
«___»____________2011
Методические указания составлены
в соответствии с примерной программой по математике,
Государственными требованиями к минимуму
содержания и уровню подготовки выпускников
на базе среднего (полного) общего
образования.
Составитель: Зинченко Н.В.
Номер варианта Последние цифры учебного номера студента
Вариант 1 01 11 Вариант 2 02 12 Вариант 3 03 13 Вариант 4 04 14 Вариант 5 05 15 Вариант 6 06 16 Вариант 7 07 17 Вариант 8 08 18 Вариант 9 09 19 Вариант 10 10 20
СОДЕРЖАНИЕ :1. Пояснительная записка.2. Программа.3. Методические указания .4. Контрольные задания.5. Литература6. Экзаменационный материал (тесты ). ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Настоящее методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине математика . Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математики на базе среднего (полного) общего образования. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной , формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин. В результате изучения дисциплины студент должен :иметь представления :- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений ;знать и уметь:-использовать математические методы при решении прикладных задач.Рабочая программа по математике рассчитана на 312 часов из них 93,6 час. на теоретические занятия и 218,4 час. на самостоятельную учебную нагрузку студенту. Программа по математике состоит из 14 разделов.Раздел 1 «Действительные числа»Раздел 2 «Тригонометрические выражения»Раздел 3 «Тригонометрические функции»Раздел 4 «Тригонометрические уравнения»Раздел 5 «Производная»Раздел 6 «Применение производной»Раздел 7 «Показательная и логарифмическая функции»Раздел 8 «Интеграл»Раздел 9 «Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства»Раздел 10 «Параллельность прямых и плоскостей»Раздел 11 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»Раздел 12 «Декартовы координаты»Раздел 13 «Многогранники, объем многогранников»Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади поверхности тел вращения»Основной формой учебного процесса является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературойИзучать дисциплину математика необходимо в логической последовательности:1. Усвоить учебные материалы , согласно программы.2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.3. Выполнить контрольную работу.4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.Все непонятные вопросы студент может выяснить в индивидуальной консультации у преподавателя.В соответствии с учебным планом студент должен в семестре выполнить одну контрольную работу , которая охватывает все разделы семестра , промежуточная аттестация в виде экзамена. Для проведения промежуточной аттестации по дисциплине математика составлены экзаменационные тесты , которые охватывают раздел материала за 1 семестр обучения. Экзамен по математике проводится на ПВЭМ. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Содержание каждого вопроса и условие задачи необходимо переписывать полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны быть полными , конкретными, по существу заданного вопроса. Решение задач должны быть подробно расписаны с пояснением . ответами и выводами. Доказательство теорем должно быть оформлено подробно , выделены разделы : что дано, что доказать , чертеж к теореме и доказательство самой теоремы с пояснением ( т.е. объяснение всех пунктов доказательства ).РАЗДЕЛ 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛАСтудент должен :Знать:
Определение действительного числа
Способы решений линейных уравнений и неравенств
Способы решений квадратных уравнений и неравенств
Уметь: Выполнять арифметические действия на множестве действительных чисел
Решать линейные и квадратные уравнения
Решать линейные и квадратные неравенства
Решать системы линейных уравнений и неравенств
Решать простейшие иррациональные уравнения
РАЗДЕЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯСтудент должен :Знать:
определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь : вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;
применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
РАЗДЕЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИСтудент должен :Знать:
определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь :вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;
применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСтудент должен :Знать: понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств
Уметь : решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИСтудент должен :Знать:
понятие степени с действительным показателем и ее свойства; определение логарифма числа, свойства логарифмов; свойства и графики показательной, логарифмической и степенной функции; способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств;
Уметь : строить графики показательных, логарифмических функций при различных основаниях и на них иллюстрировать свойства функций; преобразовывать эти графики путем сдвига и деформации; вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств
РАЗДЕЛ 6 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВАСтудент должен :Знать :основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них
Уметь : в ходе решения задач проводить доказательные рассуждения , ссылаясь на аксиомы
РАЗДЕЛ 7 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙСтудент должен :Знать : взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве; основные теоремы о параллельности прямой к плоскости, параллельности двух плоскостей; свойства параллельного проектирования и их применение для изображения фигур в стереометрии;
Уметь : устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;
РАЗДЕЛ 8 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕСтудент должен Знать : понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями; основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;
Уметь : применять признак перпендикулярности прямой и плоскости,
теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.
РАЗДЕЛ 9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ В ТОЧКЕСтудент должен :Знать :
определение производной, ее геометрический и механический смысл; правила и формулы дифференцирования функции; определение дифференциала функции; определение второй производной, ее физический смысл;
Уметь :дифференцировать функции, использую таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций вида f (ax + b); вычислять значения производной функции в указанной точкеРАЗДЕЛ 10 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Студент должен :Знать:
определение второй производной, ее физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремума; общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
Уметь: находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке; применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.); находить производные второго порядка,
РАЗДЕЛ 11 ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯСтудент должен :Знать:определение первообразной; определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы вычисления неопределенного интеграла; определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства; способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;
Уметь: находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.; РАЗДЕЛ 12 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕСтудент должен :Знать :понятие декартовых координат в пространстве, понятие вектора , действие над векторами;
Уметь :выполнять действия над векторами
РАЗДЕЛ 13 МНОГОГРАННИКИ, ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВСтудент должен Знать :понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника; определения призмы, параллелепипеда; виды призм; определения пирамиды, правильной пирамиды; понятие тела вращения и поверхности вращения; определения цилиндра, конуса, шара, сферы; свойства геометрических тел;Уметь: вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид, прямых круговых цилиндра и конуса, шара; строить простейшие сечения многогранников и круглых тел; вычислять площади этих сечений.РАЗДЕЛ 14 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ , ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Студент должен :Знать :понятие тел вращения и поверхности вращения; определения цилиндра , конуса , шара , сферы; свойства геометрических тел ;понятие объема и площади поверхности геометрического тела ; формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей геометрических тел ;Уметь : вычислять и изображать основные элементы прямых круговых цилиндров и конусов , шара ; строить простейшие сечения круглых тел; вычислять площади; находить объем прямого кругового цилиндра и конуса , шара
Контрольные задания Домашней контрольной работы(для первой экзаменационной сессии)ВАРИАНТ 11.Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.2.Докажите , что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и притом только одну.3.Какие прямые в пространстве называются параллельными?4.Какие прямые называются скрещивающимися ?5.Докажите признак параллельности прямых.6.Свойства и графики тригонометрических функций.7.Корень п-ой степени , его свойства.8.Решите уравнения :
2sin x + = 0
sin 2x =
3х – 3х+3 = - 78
5х * 2х = 0,1-3
0,3х * 3х =
log x = - 3
log 0.1 ( x2 +4x -20 ) = 0
9. Решите неравенство :log 0.6 ( 6x – x2 ) log 0.6 ( -8 –x )
log 2.5 ( 6 – x ) log 2.5 ( 4- 3x )
Контрольные задания Домашней контрольной работы(для первой экзаменационной сессии)ВАРИАНТ 21.Докажите , что через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом только одну.2. .Что такое стереометрия . Сформулируйте аксиомы стереометрии.3.Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.4.Что значит : прямая и плоскость параллельны ?5.Докажите признак параллельности прямых.6.Степень с рациональным и действительным показателем.7.Понятие синуса, косинуса , тангенса произвольного угла.8. Решите уравнения :2 cos x -1 = 0
cos = -
0,1х-0,5 * = 0,001
52х-1 -52х-3 = 4,8
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 7 ( x2 -12x +36 ) = 0
log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )9. Решите неравенство :log 2 ( 5x – 9 ) log 2 ( 3x + 1 )
log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x
ВАРИАНТ 31.Докажите признак параллельности прямой и плоскости.2.Какие плоскости называются параллельными ?3.Докажите признак параллельности плоскостей.4. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.5.Перечислите свойства параллельного проектирования.6.Понятие логарифмической функции, свойства , графики.7.Действительные числа, действия над множеством действительных чисел.8. Решите уравнения :2 sin x + = 0
sin =
0,3х * 3х =
2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 2 ( x2 +7x -5 ) = log 2 ( 4x -1 )
9. Решите неравенство :log 0.6 ( 6x – x2 ) log 0.6 ( -8 –x )
log 2.5 ( 6 – x ) log 2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 41. Какие прямые в пространстве называются параллельными?2. .Какие прямые называются скрещивающимися ?3.Докажите признак параллельности прямых.4.Докажите , что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.5.Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.6.Понятие показательной функции, свойства , график.7.Целые и рациональные числа.8. Решите уравнения :sin (-2x ) =
3sin2 x – 5sin x-2 =0
3х – 3х+3 = - 78
5х * 2х = 0,1-3
log2 3x = log24 +log26
log 12 ( x2 -8x + 16 ) = 0
log 2 ( -x2 + 5x +7 ) = log 2 ( 10x -7 )
9. Решите неравенство :log 2 ( 5x – 9 ) log 2 ( 3x + 1 )
log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x
ВАРИАНТ 51.Докажите , что если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?4. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.5.Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.6.Основные формулы тригонометрии. Формулы двойного аргумента.7.Свойства и графики тригонометрических функций.8. Решите уравнения :tg ( -4x ) =
3 sin 22x +10 sin 2x+3 =0
0,1х-0,5 * = 0,001
52х-1 -52х-3 = 4,8
0,3х * 3х =
log x = - 3
log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )9. Решите неравенство :log 0.6 ( 6x – x2 ) log 0.6 ( -8 –x )
log 2.5 ( 6 – x ) log 2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 61. Какие прямые называются скрещивающимися ?2. Докажите признак параллельности плоскостей.3. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.4. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.5. Перечислите свойства параллельного проектирования.6.Определения обратных тригонометрических функций.7.Формулы сложения и следствия из них.8. Решите уравнения :cos ( -2x) = )
4 sin 2x +11sin x -3 = 0
0,3х * 3х =
2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49
log2 3x = log24 +log26
log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7
log 12 ( x2 -8x + 16 ) = 0
9. Решите неравенство :log 2 ( 5x – 9 ) log 2 ( 3x + 1 )
log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x

ВАРИАНТ 71.Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.2.Точки А. В. С лежат в каждой из двух различных плоскостей . Докажите , что точки лежат на одной прямой.3. Какие прямые называются скрещивающимися ?4. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?5. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.6.Тригонометрические функции числового аргумента.7.Свойства тригонометрических функций числового аргумента и их графики.8. Решите уравнения :6cos 2 x + cos x -1 =0
ctg ( - ) = 1
32х -6 * 3х – 27 = 0
0,44-5х = 0,16 *
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 12 ( x2 -8x + 16 ) = 0
log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )
9. Решите неравенство :log 0.6 ( 6x – x2 ) log 0.6 ( -8 –x )
log 2.5 ( 6 – x ) log 2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 81. Докажите, что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.2. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.3. Перечислите свойства параллельного проектирования.4. Какие прямые называются скрещивающимися ?5. Докажите признак параллельности плоскостей.6.Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.7.Формулы приведения.8. Решите уравнения :2 cos 2 x – cos x -3 =0
2 sin x – 1 =0

2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 7 ( x2 -12x +36 ) = 0
log 2 ( x2 +7x -5 ) = log 2 ( 4x -1 )
9. Решите неравенство :log 2 ( 5x – 9 ) log 2 ( 3x + 1 )
log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x


ВАРИАНТ 91. Докажите признак параллельности плоскостей.2. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?4. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.5.Докажите признак параллельности прямых.6.Формулы сложения и следствия из них ( докажите одну из них ).7.Понятие обратных тригонометрических функций.8. Решите уравнения :2cos 2 3x -5 cos 3x – 3 =0
ctg ( - ) = 1

2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49
0,3х * 3х =
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 7 ( x2 -12x +36 ) = 09. Решите неравенство :1) log 0.6 ( 6x – x2 ) log 0.6 ( -8 –x )
2)log 2.5 ( 6 – x ) log 2.5 ( 4- 3x )
ВАРИАНТ 101. Докажите признак параллельности прямых.2. Докажите признак параллельности плоскостей.3. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.4. Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.5. Какие прямые называются скрещивающимися ?6.Радианное измерение углов7.Понятие синуса ,косинуса ,тангенса произвольного угла.8. Решите уравнения :2 sin 2 x + 3 cos x = 0
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 =0

32х -6 * 3х – 27 = 0
0,44-5х = 0,16 *
log4 5x = log4 35 - log4 7
log 0.1 ( x2 +4x -20 ) = 09. Решите неравенство :1)log 2 ( 5x – 9 ) log 2 ( 3x + 1 )
2) log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯРаздел 1 Действительные числа.Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей , животных , плодов ,различных изделий человека и других предметов. Эти числа называются теперь натуральными , а в арифметике их называют целыми числами.В результате выполнения арифметических действий появились дробные числа , затем иррациональные числа , отрицательные числа и комплексные числа , позднее к ним присоединился нуль. Все эти числа вместе образуют множество действительных чисел.Над множеством действительных чисел производятся следующие операции (действия ): сложение , вычитание ,умножение , деление , возведение в степень ,вычисление значений корня. Выполняя действия мы не забываем , что действия первой ступени ( деление ,умножение, возведение в степень, вычисление корня ) выполняются первыми , а затем действия второй ступени ( сложение и вычитание ).Обыкновенной дробью называется часть единицы или несколько равных частей единицы. Число , показывающее , на сколько долей разделена единица , называется знаменателем дроби ; число, показывающее количество взятых долей ,- числитель дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной : - правильная дробь. Если числитель больше знаменателя , то дробь называется неправильной : - неправильная дробь. Число , содержащее целую и дробную часть ( например 9 , называется смешанным.Вычисления с обыкновенными дробями иногда становятся громоздкими, если их знаменатели достаточно велики. Поэтому в древности пришли к мысли выбирать не произвольно , а систематически доли единицы. Так пришли к понятию десятичной дроби, над множеством которой производятся все основные операции.Раздел 2 Тригонометрические выражения.Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180 0 = радиан ; угол в п0 равен радиан.Если в прямоугольном треугольнике , один из острых углов обозначить через ,катеты соответственно а и в , гипотенузу через с , то отношение а : с есть синус острого угла (отношение противолежащего угла катета к гипотенузе) ; отношение в : с есть косинус острого угла ( отношение прилежащего катета угла к гипотенузе ) ; отношение а : в есть тангенс острого угла ( отношение противолежащего катета угла к прилежащему катету ).Из определений синуса ,косинуса, тангенса, котангенса следуют основные формулы тригонометрии :Sin 2x + Cos2 x = 1 tg x * ctg x =1tg 2 x +1 = ctg2 x + 1 = tg x = ctg x = Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения :Cos (a –b) =cos a*cos b + sin a *sin bCos (a+ b) =cos a * cos b – sin a * sin bSin ( a+ b ) = sin a * cos b +cos a * sin bSin ( a –b ) = sin a * cos b – cos a * sin btg ( a + b ) =tg ( a – b) =Из формул сложения путем вывода получаем формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.Для запоминания формул приведения удобно пользоваться мнемоническим правилом -перед приведенной функцией ставится тот знак , который имеет исходная функция, если 0а
-если функция меняется на «кофункцию» ,если п нечетно ; функция не меняется, если п четно.( Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса называются соответственно косинус , синус, котангенс , тангенс.)
Ответьте на контрольные вопросы:1.Запишите формулы приведения , формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.2.Запишите знаки тригонометрических функций по четвертям.3.Выразите в радианную меру величины углов 450 ; 36 0; 1800 ; 1500 ; 3100 ; 360 0; 720 ; 270 0РАЗДЕЛ 3 .ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИМы считаем , что все углы измерены в радианной мере , и поэтому обозначение рад., как правило , опускается. Договорившись считать единицу измерения углов ( 1 радиан ) фиксированной , определяем , тригонометрические функции тригонометрического аргумента.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции , заданные формулами у = sin x и у = cos x называются соответственно синусом и косинусом ( и обозначаются sin . cos )ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции, заданные формулами у = tg x и у = ctg x , называются соответственно тангенсом и котангенсом ( и обозначаются tg x и ctg x)На основании теоремы (о корне) и свойств монотонности тригонометрических функций определены понятия обратных тригонометрических функций.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка , косинус которого равен числу а.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка тангенс которого равен числу а.ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Арккотангенсом числа а называется такое число их отрезка котангенс которого равен числу а.ПРИМЕР : вычислите значения обратных тригонометрических функций
А)arcsin 1 = , так как sin =б) arcсos , так как cos =В)arсcos(-0.5)+arcsin ( -0.5) = - ==г) 2arcsin( - = 2(- д) arcsin(-1)-+3arccos(-
Выполните упражнение самостоятельно :1.Вычислите 1) arctg(-2) 3arcsin
arctg(-arccosРАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯРешение простейших тригонометрических уравнений.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Уравнения вида cos x =a sin x =a tg x = a ctg x = a называются простейшими тригонометрическими , при условии а уравнения sin x = a . cos x = a имеют корень, два других уравнения имеют корень при любом а.Для решения тригонометрических уравнений существуют формулы корней.
№ Вид уравнения Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
1 sin x = a X=(-1)narcsin a +n , nR
2 cos x = a X = -+arсcos a +2n , n R
3 tg x = a X = arctg a + n , n R
4 ctg x = a X = arcctg a +n , n R
1.Решить тригонометрические уравнения : ( образец )а) cos x = -x = -+ arcos (-.nRx = -+b) cos nR2.Решите уравнения : ( самостоятельно )
1)cos x= 2)cos x + =0 3) 4)Sin 2x =
cos ( 6)2sin2 x+ sin x -1 = 0 7) 2 cos 2 x + sin x + 1 =0
При решении тригонометрических уравнений нужно знать определение обратных тригонометрических функций , знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений ,уметь пользоваться таблицей элементарных значений тригонометрических функций.РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция , заданная формулой У= ах ( где а > 0, а≠1) ,называется показательной функцией с основанием а.ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Логарифмом числа в по основанию а называется показатель , в которую нужно возвести основание а , чтобы получить число в.ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Функция ,заданную формулой У = Logxa , называется логарифмической функцией с основанием а.Сформулируем основные свойства показательной функции ( их доказательство выходит за рамки общеобразовательной подготовки )1.Область определения показательной функции есть множество всех действительных чисел.2.Область значения показательной функции есть множество всех положительных действительных чисел.3.При любых действительных значениях Х и У справедливы равенства :
ахау = ах+у 2. =ах-у 3. (ав )х =ах вх 4. (= 5.(ах)у= аху
Решение простейших показательных , логарифмических уравнений и неравенств.При решении простейших показательных уравнений используется определение показательной функции и ее основные свойства.Решим уравнение :7х-2 =
Приведем основание показательной функции правой части уравнения к числу 7, в результате преобразований получаем 7, данное уравнение после преобразований имеет вид 7х-2 = 7, на основании свойства показательной функции имеем , что х-2 = , следовательно х = 2.
5х-2х-1 =25
Перепишем его в виде 5х-2х-1 = 52 на основании свойства показательной функции имеем , что х2 -2х-1 = 2. Приходим к квадратному уравнению , решаем его и получаем два действительных корня х =3 и х= -1 , следовательно корнями показательного уравнения являются числа 3 и -1.При решении простейших логарифмических уравнений используются определения логарифма числа , понятие логарифмической функции , ее области определения и основные свойства логарифмической функции .Решим уравнение : 1) Log 2 (x2+4x+3 ) =3
По определению логарифма числа имеем х2+4х+3 = 23 , получаем , что х2+4х+3 = 8 , или х2+4х +3 -8 = 0 , приводим подобные , получаем квадратное уравнение , решаем его и получаем два два действительных корня х =1 , х = -5 , следовательно корни логарифмического уравнения числа 1 и -5 .
Log (2x+3)=Log(x+1)
По свойству логарифмической функции имеем , что 2х+3=х+1 , решаем линейное уравнение и получаем , что х = -2 , которое не обращает данное уравнение в верное равенство.При решении показательных неравенств используется понятие показательной функции . свойство монотонности показательной функции, свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.Решим неравенство :0,57-3х , представим основание показательной функции в правой части неравенства в виде числа 0,5-2 , перепишем неравенство с новым основанием
0,5 7-3х , исходя из того , что основание показательной функции число равное 0,5 следовательно показательная функция убывающая и это значит , что 7-3х решаем неравенство первой степени и получаем , что -3х -9 и х .Значит множество ( - ; 3 ) есть решением данного неравенства.2. Решим неравенство : 62 при данном основании а =6 показательная функция возрастает ,а это значит, что х2+2х >2 или х2 +2х -2 >решая неравенство 2 степени , вычисляя нули функции получаем х =- 3 и х = 1, а это значит множество чисел ( -; -3 ) и ( 1; ) есть решение данного неравенства.При решении логарифмических неравенств всегда используются свойство монотонности функции , свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.3. Решим неравенство :1.log (5-2x) >2 число -2 представим в виде логарифма числа -2 = log 1/39 .Поэтому данное неравенство можно записать в виде log 1/3( 5-2x ) >log 1/3 9 .Логарифмическая функция с основанием 1/3 определена и убывает на множестве R+ .Следовательно составляя систему из двух неравенств получаем : 5-2х >и 5-2х <9, решаем данную систему и получаем , что х принадлежит множеству ( -2 ; 2,5 ).РАЗДЕЛ 6 . Аксиомы и их простейшие следствия.СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии , в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии , так же как и в планиметрии , свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем, При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в стереометрии являются точка , прямая и плоскость.Группа аксиом состоит из трех аксиом.С1 Какова бы ни была плоскость , существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки , не принадлежащие ей. С2 Если две различные плоскости имеют общую точку , то они пересекаются по прямой , проходящей через эту точку.С3 Если две различные прямые имеют общую точку , то через них можно провести плоскость , и притом только одну.Существует группа теорем , которые являются следствиями из аксиом стереометрии.ТЕОРЕМА15.3 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и при том только одну.ТЕОРЕМА 15.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости , то вся прямая принадлежит этой плоскости .ТЕОРЕМА 15.3 Через три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну .При изучении данного раздела вы должны знать аксиомы стереометрии и уметь доказывать теоремы ( следствия из аксиом стереометрии).РАЗДЕЛ 7 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.В пространстве существует несколько видов расположения прямых : пересекающие , параллельные , скрещивающиеся.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямые , которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости , называются скрещивающимися.Теорема 16.1 доказывает свойства параллельности прямых :Через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом одну.Так же существует признак параллельности прямых .ТЕОРЕМА 16.2 Две прямые , параллельные третьей прямой , параллельны.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.А теорема 16.3 является признаком параллельности прямой и плоскости.Если прямая, не принадлежащая плоскости , параллельна какой–нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.ТЕОРЕМА 16.4 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.На ряду с этим вы должны уметь доказывать теоремы о существовании плоскости , параллельной данной плоскости.ТЕОРЕМА 16.5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.Нужно так же отметить о существовании свойств параллельных плоскостей это следующие утверждения :Если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.Отрезки параллельных прямых , заключенные между двумя параллельными плоскостями , равны. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.
ЛИТЕРАТУРАОсновная
Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994.
Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1987.
Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.
Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 – 11) – М., Просвещение, 1995
Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987.
Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988.
Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М., Наука, 1989.
Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997.
Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.
ДополнительнаzАфанасьева О.Н., Бродский Я.С. , Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1991
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1997.
Экзаменационные задания (тесты)1 Упростите выражение 4 sin2α + 5 – 4cos2α1) 1 2) 9 3) 5 + 4cos2α 4) 5 - 4cos2α2 Решите неравенство: 1) [3:+) 2) (-: 1] 3) [1 : + ) 4) R3 Найдите корень уравнения 1) 5 2) 1/3 3) ø 4) -24. Решите уравнение tg x = 11) +n 2) n 3) ø 4) R5 Упростите выражение (2а 0,3) 3 + 3а 0,91) 11а 0,9 2) 5а 2,7 3) 5а 0,9 4) 11а 2,76 Найдите область определения функции у=log2х21) (-: + ) 2) (0: 1) 3) (-:1) 4 ) (1: + )7 Найдите значение выражения log236 – log21441) -4 2) 4 3) -2 4) 28 Найдите значение выражения log1/22 + log1/2161) -5 2) 5 3) 0 4) 9 Найдите корень уравнения log2(х-1)=41) 17 2) - 3) -17 4) ø10 Найдите значение выражения 1) 2) 3) 7 4) -711 Найдите корень уравнения 2sinх – 1 =01) 2) n 3) 4) 12 Найдите корень уравнения lg(3x-2) = lg41) - ½ 2) 2 3) ø 4) R13 Решите неравенство 1) R 2) (- : ½) 3) ( ½ : +) 4) (0 : ½)14 Формула sin2α1) sin α ∙ cos α 2) 2sin α 3) 2sin α ∙ cos α 4) cos2 α15 Стереометрия –это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются на 1) плоскости 2) прямой 3) пространстве 4) треугольнике16 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести …, и притом только одну1) плоскость 2) прямую 3) треугольник 4) окружность17 Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются 1) скрещивающиеся 2) параллельными 3) перпендикулярными 4) пересекающимися18 Две прямые, параллельные третьей прямой, …1) равны 2) параллельны 3) перпендикулярны 4) не пересекаются\19 Упростите выражение 1 – sin2t1) cos2t 2) sin2t 3) cos2t 4) tg2t20 Вычислите 1) 7 2) 10 3) -10 4) 1/1021Вычислите log2241) ¼ 2) -2 3) 2 4) 422 Найдите значение числового выражения 1) -32 2) 32 3) 4 4) -423 Какая из перечисленных функций показательная1) 2х 2) х4 3) sin x 4) log2x24 Какая функция четная1) sin x 2) cos x 3) a x 4) logax25 Упростите выражение 6-6sin 2+6cos21) 6 2) 12cos2 3) 6+6cos2 4) 026 Решите неравенство: 1)[3:+) 2)(- :+3] 3)[9:+ ) 4)R27 Найдите корень уравнения: =3-х1) 2,5 2) -2,5 3) ø 4) 2 28 Решите уравнение:ctg x=11) 2) 3) ø 4) - + 29 Найдите значения выражения : в 2,5: в -0,5 при в=1) 2) 3) 36 4) 6 30 Найдите область определения функции у=log(х-1)
R 2) 3)(-2;3) 4)
31.Найдите значения выражения 5sin2+2,2-5cos2.если10 sin2=3
1)4 2) 3 3)2,8 4) 0,2 32 Найдите значения выражения : log3+ log271) – 4 2) 4 3) ¼ 4)-1/433 Найдите корень уравнения log(х-2)= -4 1) 18 2)–18 3) 4) ø 34 Найдите значение выражения 9log9 1) 2) 3) 9 4)–9 35 Найдите корень уравнения 2cos х-1=0 1) +2n 2) 2n 3) ø 4)(-1)n + 36 Найдите корень уравнения lg(3х-2)=11) 4 2) - 3) -4 4) ø37 Решите неравенство 1) 2) 3) 4) R 38 Формула cos, есть выражение1) 2) 3) 4)
39 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести..., и притом только одну.
1) прямую 2) угол 3) трапецию 4) плоскость40 Две прямые в пространстве называются ..., если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.1) перпендикулярными2) параллельными3) пересекающимися4) скрещивающимися41 Через точку вне данной прямой можно провести …, параллельную этой прямой, и притом только одну1) плоскость 2) угол 3) прямую 4) многоугольник 42 Две прямые называются перпендикулярными если, они пересекаются под углом1) 180 2) 45 3) 90 4) 27043 Упростите выражение 1) 2) 2 3) 4) -144 Вычислите 1) 8 2) 3) 5 4) 345 Вычислите 88-21) -8 2) 8 3) 2 4) -246 Найдите значения числового выражения 1) -7 2) 7 3) 4) -47 Какая из перечисленных функций степенная 1) 2) 3) sin2х 4) 48 Какая функция нечетная1) tgх 2) х2 3) х2+2 4) 2х2+4

Приложенные файлы

  • docx 7697905
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий