Какую длину может иметь сторона АС, если окружность, проходящая через точки В и D касается прямой ВС и АС? В треугольнике АВС по теореме косинусов имеем: ВС2АС2+АВ2-2•АС•АВ•cos600.


С4. В треугольнике АВС на стороны АВ взята точка D так, что AD:BD=1:8. Известно, что ВС=9, а угол ВАС=600 . Какую длину может иметь сторона АС, если окружность, проходящая через точки В и D касается прямой ВС и АС?
x8x600
3x9-3х
9
D
A
B
C
K
x8x600
3x9
9
D
A
B
C
K
Решение.

Рис.1Рис.2
1 случай(рис.1). Точка К – точка касания окружности и отрезка АС.
Пусть AD=x, тогда DB=8x, АВ=9х. По свойству касательной и секущей :
AK2=AD∙AD⟹AK=x∙9x=3x. Тогда АС=3х+9.
В треугольнике АВС по теореме косинусов имеем: ВС2=АС2+АВ2-2∙АС∙АВ∙cos600.
92=3x+92+9x2-2∙(3х+9)∙9x∙12 ; 81=9x2+54x+81+81x2-27x2-81x
63x2-27x=0⟹x(7x-3)=0⟹x=0-не подходит x=37⟹x=37АС=37∙3+9=7272 случай(рис.2). Точка К – точка касания окружности и продолжения отрезка АС.
Пусть AD=x, тогда DB=8x, АВ=9х. По свойству касательной и секущей :
AK2=AD∙AD⟹AK=x∙9x=3x. Тогда АС=9-3х
В треугольнике АВС по теореме косинусов имеем:
ВС2=АС2+АВ2-2∙АС∙АВ∙cos600.
92=9-3х2+9x2-2∙(9-3х)∙9x∙12 ;81=9x2-54x+81+81x2+27x2-81x
117x2-135x=0⟹x(117x-135)=0⟹x=0-не подходит x=1513⟹x=1513АС=9-1513∙3=7213Ответ. 72 7 или 7213.

Приложенные файлы

  • docx 11122591
    Размер файла: 16 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий