2. Какое наибольшее количество z-тетрамино (см. рисунок) можно вырезать (по клеточкам) из квадрата 2015?2015 клеток? Тетрамино можно поворачивать и переворачивать. 3. Сумма 100 последовательных натуральных чисел делится на наименьшее из них.

Весенне-зимний математический марафон 2018 года.
7-8 класс. 1 тур. К 13 февраля 2018 года.
Задачи 3 тура 46 Уральского ТЮМа (группа «Старт», высшая лига).
Рекомендуется решать в течение всей недели – это всё-таки Всероссийский турнир!
Письменно!
1. Каждое натуральное число окрашено либо в синий, либо в красный цвет. Оказалось, что для любых двух одноцветных чисел a и b если число a(2b натуральное, то оно того же цвета, что и a. Сколько существует таких раскрасок?








2. Какое наибольшее количество z-тетрамино (см. рисунок) можно вырезать (по клеточкам) из квадрата 2015Ч2015 клеток? Тетрамино можно поворачивать и переворачивать.
3. Сумма 100 последовательных натуральных чисел делится на наименьшее из них. Какое наибольшее значение может принимать это наименьшее число?
4. Дано 2016 карточек, пронумерованных числами 1, 2, , 2016. Можно ли эти карточки разложить в 64 стопки таким образом, чтобы в любых двух стопках были по одной карточке с последовательными номерами, или с номерами 1 и 2016?
5. В некоторой компании у каждого, кроме одного, ровно 100 знакомых, а у оставшегося ( 50 знакомых. Могло ли так случиться, что для любых трёх людей (A, B, C) из этой компании среди остальных есть ровно трое, каждый из которых знаком и с A, и с B, и с C?
6. Дано натуральное число n > 1000, имеющее больше 5 делителей. Пусть d1 > d2 > d3 > d4 > d5 пять его наибольших и отличных от n делителей. Может ли выполняться равенство d1+d2+d3(d4+d5 = n?
7. Каким наименьшим количеством квадратов 2Ч2 можно покрыть, возможно, с наложениями, поверхность кубика 3Ч3(3? (Покрывать надо по клеточкам, перегибать можно только через одно ребро куба и так, чтобы квадратик закрывал ровно 4 клетки).
8. Дано натуральное число n > 10. Вокруг стола сидит n человек. На каждом из них надет колпак синего или красного цвета, причём каждый из сидящих видит только цвет колпаков у двух соседей по столу. Каждый из этих n людей пишет на бумажке два числа: номер своего места и количество синих колпаков, которое он видит. При каких n по всем этим бумажкам можно наверняка установить, на ком какой колпак надет?


Приложенные файлы

  • doc 11101216
    Размер файла: 34 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий