Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Цели урока: 1. Систематизировать и обобщить знания, умения и навыки по темам: «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».


Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Цели урока: 1. Систематизировать и обобщить знания, умения и навыки по темам: «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».
2. Развивать мышление, учить делать умозаключения по аналогии - как основы при разработке новых гипотез и выявлении новых закономерностей.
3. Развивать интерес к предмету, демонстрируя лаконичность и красоту доказательств и решений.
4.Воспитывать творческую личность методом активного развития знаний.
Оборудование: 1. Модель для демонстрации геометрического решения задачи на сумму арифметических прогрессий (Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Аналогия в задачах).
2. Шахматы.
3. Несколько зернышек.
Эпиграф к уроку: Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогий». ( Дьердь Пойа)
Ход урока: 1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! Тема нашего сегодняшнего урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На предыдущих занятиях мы познакомились с вами с этими последовательностями, научились находить n-й член и сумму n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Цель нашего сегодняшнего урока – систематизировать и обобщить наши сведения об арифметической и геометрической прогрессиях, рассмотреть практическое значение изучаемого материала. Проведем небольшую разминку.
2. Устный опрос учащихся по вопросам:
1). Что такое последовательность?
2).Каким свойством обладают члены последовательности?
3). Как называется формула, которая выражает зависимость числа и его номера в ряду последовательности?
4). Устная задача. Последовательность задана формулой аn=2n-1. Укажите первые пять ее членов. Укажите, какое число стоит на 119 месте.
5). Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Что называется разностью арифметической прогрессии?
6). Как задать арифметическую прогрессию?
7). Приведите примеры арифметической прогрессии.
8). Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
9). Как задать геометрическую прогрессию?
10). Приведите примеры геометрической прогрессии.
3. Исторические сведения (доклад ученика).
4. Аналогия в математике и других науках.
Ребята! Давайте вспомним формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.
аn=а1 +d(n-1) bn=b1*qn-1 Что бросается в глаза, глядя на эти формулы? Правильно, сходство в структурах. Сформулируйте, в чем оно выражается? Совершенно верно, в обеих формулах на первом месте стоит первый член последовательности и имеется выражение (n-1). Здесь встречаются аналогии, поэтому мы и рассматриваем эти две прогрессии параллельно.
Аналогия полезна не только в математике. Она помогла в географии открыть алмазные месторождения в Якутии; в химии - определить атомный вес еще не найденного элемента селена; в физике - модель атома была предложена Резерфордом как микроскопическая модель Солнечной системы; в биологии учитывая особенности зрительной системы лягушек, удалось сконструировать устройство, автоматически регулирующее полеты над аэродромом с учетом множества факторов. Удачная аналогия всегда приносит удовлетворение уму, а чувству – удивление и восхищение красотой человеческой мысли.
Давайте вернемся к нашему уроку и вспомним формулы суммы n – первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Устная задача: В арифметической прогрессии первый член равен 5, а тридцатый 15. Найдите сумму первых 30 ее членов.
5.Практическая часть урока.
Молодцы, ребята! Вы хорошо усвоили арифметическую и геометрическую прогрессии. А сейчас мы перейдем к следующей части нашего урока – решению задач, в которых мы увидим практическое значение изучаемого материала (ученикам раздаются тексты задач).
Задача № 1 (история о знаменитом немецком математике Гауссе).
Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. А вы сможете?
Задача № 2(задача из древнеегипетского папируса Ахмеса).
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8меры».
Задача № 3(задача из древнегреческого папируса).
Имеется 7 домов; в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять, дает 7 мер земли. Нужно посчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер земли.
Задача № 4(древняя индийская легенда).
Рассказывают, что изобретатель шахмат попросил за свое изобретение в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. два зерна и т. д. до 64 клетки. Его просьбу удовлетворить оказалось невозможным. Почему?
Задача № 5.
Клиент взял в банке кредит в размере 50000 рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если условия погашения кредита таковы:
а) проценты возвращаются в банк ежегодно;
б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока.
Задача № 6.
Выведите формулу для вычисления суммы:
1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1.
После аналитического решения данной задачи рассматривается геометрическое решение с помощью динамической модели на магнитах.
Задача № 7.
Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
6.Итог урока. Домашнее задание.

Приложенные файлы

  • docx 11050447
    Размер файла: 18 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий